mathic.com: Krzysztof Wesołowski - Kurs: [30h] Matematyka - Zajęcia: Wykład 1 - Pojęcia związane z funkcjami (definicja, funkcja odwrotna, złożenie, monotoniczność, iniekcja, surjekcja, bijekcja)

Kurs: [30h] Matematyka - Wykład

Temat: Wykład 1 - Pojęcia związane z funkcjami (definicja, funkcja odwrotna, złożenie, monotoniczność, iniekcja, surjekcja, bijekcja)

Data zajęć: 2019-10-04

Ogłoszenia: 9:15-10:45

Treść zajęć

Funkcje

Podstawowe pojęcia związane z funkcjami

Oznaczenie
Ustalmy najpierw oznaczenia, które będziemy wykorzystywać:

$\forall$ - "dla każdego"

$\exists$ - "istnieje"

$\exists!$ - "istnieje dokładnie jeden"

$\mathbb{N}$ - zbiór liczb naturalnych

$\mathbb{Z}$ - zbiór liczb całkowitych

$\mathbb{Q}$ - zbiór liczb wymiernych

$\mathbb{R}$ - zbiór liczb rzeczywistych

$\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ - zbiór liczb niewymiernych

$\mathbb{C}$ - zbiór liczb zespolonych

$\mathbb{P}$ - zbiór liczb pierwszych

Definicja (Funkcja)
Niech $X,Y$ będą dowolnymi, niepustymi podzbiorami $\mathbb{R}$ . Funkcją $f$ prowadzącą ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ (odwzorowaniem z $X$ w $Y$ ) nazywamy przyporządkowanie, które każdemu punktowi ze zbioru $X$ przyporządkowuje dokładnie jeden element ze zbioru $Y$ . Zapisujemy wtedy $f:X\to Y$ lub $f:X\ni x\mapsto f(x)\in Y$ .

Zobrazowanie funkcji $f:X\ni x\mapsto f(x)\in Y$ .

Oznaczenie
Stosujemy nazewnictwo:

$f$ - funkcja, przekształcenie, odwzorowanie

$X$ - zbiór argumentów lub dziedzina

$Y$ - przeciwdziedzina

$f(X)$ - zbiór wszystkich wartości funkcji $f$

$x$ - argument

$f(x)$ - wartość funkcji $f$ w punkcie $x$

Uwaga
Definicję funkcji $f:X\to Y$ zapisuje się w postaci warunku $\forall x\in X \, \exists!y\in Y:\,\, f(x)=y.$

Uwaga (Własność geometryczna wykresu $f:X\to Y$ )
Można wygodnie ocenić, czy na wykresie zobrazowana jest funkcja $f:X\to Y$ . Wykres przedstawia funkcję, jeśli dowolna prosta $x=const$ przecina go w co najwyżej punkcie.

Rysunek przedstawia wykres funkcji $f:X\to Y$ .

Rysunek nie przedstawia wykresu funkcji $f:X\to Y$ .

Ćwiczenie: Kóre z naszkicowanych zbiorów są wykresami funkcji $f:X\to Y$ ?

Na płaszczyźnie kartezjańskiej z przyjętym układem współrzędnych $X0Y$ dziedzina funkcji leży na osi $0X$ . Jest ona rzutem prostokątnym wykresu na tę oś. Podobnie, rzutując wykres na oś $0Y$ otrzymujemy zbiór wartości funkcji.

Definicja (Dziedzina naturalna)
Dziedziną naturalną funkcji $f$ nazywamy maksymalny w sensie zawierania zbiór argumentów taki, że wartość funkcji $f$ ma sens w każdym punkcie tego zbioru (rzut całego wykresu na oś $0X$ .

Ćwiczenie: Wyznacz dziedziny oraz zbiory wartości funkcji przedstawionych na wykresach.

Definicja (Równość funkcji)
Niech $f:X\to Y$ oraz $g:U\to V$ . Funkcje $f$ i $g$ nazwiemy tożsamościami lub funkcjami równymi, jeśli spełnione są jednocześnie następujące warunki:

a) $X=U$ (równość dziedzin)

b) $\forall x\in X\quad f(x)=g(x)$ (równość wartości)

Przykład
Funkcje $f:\mathbb{R}\ni x\mapsto x\in\mathbb{R}$ oraz $g:\mathbb{R}\setminus\{0\}\ni x\mapsto \frac{x^2}{x}\in\mathbb{R}$ nie są takie same, bo mają różne dziedziny.

Definicja (Odwzorowanie identycznościowe)
Odwzorowaniem identycznościowym lub identycznością (oznaczanym $id$ ) nazywamy funkcję $id:X\to X$ taką, że $id(x)=x$ dla dowolnego $x\in X$ .

Definicja (Zawężenie funkcji)
Niech $A\subset X$ i niech $f:X\to Y$ . Zacieśnieniem (inaczej: zawężeniem lub restrykcją) funkcji $f$ do zbioru $A$ nazywamy funkcję oznaczaną $f_{|A}$ , która prowadzi z $A$ w $Y$ , to znaczy $f_{|A}:A\to Y$ i jest równa funkcji $f$ na zbiorze $A$ , mianowicie $\forall x\in A: f_{|A} (x)=f(x)$ .

Definicja (Złożenie funkcji)
Złożeniem dwóch funkcji $f:X\to Y$ i $g:W\to Z$ , gdzie $Y\subset W$ , nazywamy funkcję $g\circ f: X\ni x\mapsto g(f(x)) \in Z$ .

Definicja (Funkcja odwrotna)
Niech $f:X\to Y$ będzie funkcją. Mówimy, że funkcja $g:Y\to X$ jest funkcją odwrotną do funkcji $f$ , jeśli dla dowolnego elementu $x\in X$ zachodzi równość $g(f(x))=x$ i dla dowolnego elementu $y\in Y$ zachodzi równość $f(g(y))=y$ . Będziemy ją oznaczać symbolem $f^{-1}$ . Zapisując skrótowo: $f\circ f^{-1}=id$ oraz $f^{-1}\circ f=id$ .

Komentarz
Należy odróżniać pojęcie funkcji odwrotnej od odwrotności funkcji, gdzie przez odwrotność funkcji $f:X\to \mathbb{R}$ rozumiemy funkcję $\frac{1}{f}: X\ni x\to \frac{1}{f(x)}\in \mathbb{R}$ . Funkcję $f^{-1}$ można rozumieć jako taką "złośliwą", która cofa każde działanie funkcji $f$ .

Uwaga (Własność geometryczna funkcji odwrotnych)
Niech $f, g:X\to Y$ będą funkcjami jednej zmiennej. Jeśli $g$ jest funkcją odwrotną do $f$ , to w prostokątnym układzie współrzędnych wykres funkcji $g$ jest obrazem wykresu funkcji $f$ w symetrii osiowej względem prostej $y=x$ .

Rysunek przedstawia wykresy funkcji wzajemnie odwrotnych: $y=e^{x}$ oraz $y=\ln x$ - są one osiowo symetryczne względem $y=x$ .

Monotoniczność

Definicja (Funkcja rosnąca w przedziale)
Mówimy, że funkcja $f:X\to Y$ jest rosnąca (odpowiednio: ściśle rosnąca) w przedziale $(a,b)$ , jeśli $\forall x, y\in (a,b):\, x < y \implies f(x)\leq f(y)$ (odpowiednio: $\forall x, y\in (a,b) \: x < y \implies f(x) < f(y)$ ).

Definicja (Funkcja malejąca w przedziale)
Mówimy, że funkcja $f:X\to Y$ jest malejąca (odpowiednio: ściśle malejąca) w przedziale $(a,b)$ , jeśli $\forall x, y\in (a,b):\, x < y \implies f(x)\geq f(y)$ (odpowiednio: $\forall x, y\in (a,b) \: x < y \implies f(x) > f(y)$ ).

Definicja (Funkcja monotoniczna w przedziale)
Mówimy, że funkcja jest monotoniczna w przedziale, jeśli w tym przedziale jest rosnąca albo malejąca.

Definicja (Funkcja monotoniczna)
Mówimy, że funkcja jest monotoniczna / rosnąca / malejąca, jeśli jest monotoniczna / rosnąca / malejąca w całej swojej dziedzinie.

Funkcja $x\mapsto \mathrm{tg}\, x$ rośnie w każdym z przedziałów postaci $(-\frac{\pi}{2}+k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi)$ , nie jest jednak rosnąca w sumie przedziałów $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})$ . Weźmy bowiem np. argumenty $x=\frac{\pi}{4}$ oraz $y=\frac{3\pi}{4}$ . Wówczas $x < y$ , ale $\mathrm{tg}\, x=1 > -1=\mathrm{tg}\, y$ .

Uwaga
Jeśli $g: (c,d)\mapsto (a,b)$ jest funkcją odwrotną do funkcji $f: (a,b)\mapsto (c,d)$ , to

a) jeśli $f$ jest rosnąca, to $g$ jest także rosnąca

b) jeśli $f$ jest malejąca, to $g$ jest również malejąca

Uwaga
Funkcja odwrotna do funkcji rosnącej jest rosnąca, a odwrotna do malejącej - malejąca.

Injekcja

Definicja (Iniekcja)
Mówimy, że funkcja $f:X\to Y$ jest injekcją (funkcją różnowartościową), jeśli $\forall x_{1}, x_{2}\in X$ zachodzi implikacja $x_{1}\neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})$ .

Oznaczenie
Zapisujemy $f:X\hookrightarrow Y$ .

Uwaga
Równoważnie stosuje się warunek $\forall x_{1}, x_{2}\in X$ $f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2}$ .

Uwaga (Geometryczna własność iniekcji)
Na postawie wykresu można wygodnie ocenić, czy funkcja jest injekcją. Jest nią, jeśli dowolna prosta $y=const$ przecina wykres funkcji w co najwyżej jednym punkcie.

Na rysunku przedstawiono wykresy iniekcji. Przecięcie w co najwyżej jednym punkcie oznacza, że może nie być punktów przecięcia albo być dokładnie jeden.

Spostrzeżenie
Funkcja nie jest injekcją, jeśli w dwóch różnych punktach przyjmuje tę samą wartość.

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji, nie będących iniekcjami.

Przykład
Funkcja $f:\mathbb{R}\ni x\mapsto x^{2}\in \mathbb{R}$ nie jest injekcją, gdyż na przykład $f(-1)=f(1)$ .

Spostrzeżenie
Zmiana dziedziny może spowodować, że funkcja stanie się iniekcją. Istotnie, funkcja $f:\mathbb{R}\ni x\mapsto x^{2}\in\mathbb{R}$ nie jest iniekcją, natomiast $f:[0,\infty)\ni x\mapsto x^{2}\in\mathbb{R}$ jest iniekcją.

Przykład
Injekcjami są funkcje:

a) funkcja tożsamościowa $x \mapsto x$ na dowolnym zbiorze

b) funkcja $f(x) = \frac{1}{x}$ dla $x \in \mathbb R \setminus \{0\}$

c) funkcja $f\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; f(x) = ax + b$ , gdzie $a \ne 0$

d) zawężona do $[0,\infty)$ funkcja $f:[0,\infty)\ni x\mapsto x^{2}\in \mathbb{R}$

Surjekcja

Definicja (Surjekcja)
Mówimy, że funkcja $f:X\to Y$ jest surjekcją (funkcją "na"), jeśli $f(X)=Y$ .

Oznaczenie
Zapisujemy $f:X\twoheadrightarrow Y$ , co czytamy: $f$ prowadzi ze zbioru $X$ na zbiór $Y$ .

Uwaga
Równoważnie surjektywność zapisuje się w postaci warunku $\forall y\in Y \, \exists x \in X:\quad f(x) = y.$

Uwaga (Geometryczna własność surjekcji)
Na postawie wykresu można wygodnie ocenić, czy funkcja $f:X\to Y$ jest surjekcją. Jest nią, jeśli dowolna prosta $y=c$ , gdzie $c\in Y$ , przecina wykres funkcji w co najmniej jednym punkcie. Inaczej mówiąc funkcja jest surjekcją, jeśli rzut wykresu funkcji na oś $0y$ pokrywa cały zbiór $Y$ .

Na rysunku przedstawiono wykres surjekcji $f:X\to Y$ - rzut wykresu na oś $0y$ pokrył cały zbiór $Y$ .

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f:X\to Y$ nie będącej surjekcją - rzut wykresu na oś $0y$ nie pokrył całego zbioru $Y$ .

Spostrzeżenie
Zmiana przeciwdziedziny może spowodować, że funkcja stanie się surjekcją. Istotnie, funkcja $f:\mathbb{R}\ni x\mapsto x^{2}\in\mathbb{R}$ nie jest surjekcją, natomiast $f:\mathbb{R}\ni x\mapsto x^{2}\in[0,\infty)$ jest surjekcją (zauważmy, że w pierwszym przypadku nie dobierzemy $x$ takiego, aby $f(x)$ było ujemne, zaś w drugim przypadku da się tak dobrać $x$ , aby $f(x)$ było dowolną liczbą ze zbioru $[0,\infty)$ ).

Przykład
Surjekcjami są na przykład następujące funkcje:

a) $f\colon \mathbb{R}\setminus\{0\}\ni x \mapsto \frac{1}{x} \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$

b) $\sin:\mathbb{R}\ni x\mapsto \sin x\in[-1,1]$

Uwaga
Każda funkcja jest surjekcją na swój obraz, czyli surjekcją jest zawsze funkcja $f:X\to f(X)$ .

Bijekcja

Definicja (Bijekcja)
Mówimy, że funkcja jest bijekcją (funkcją "1 na 1", funkcją wzajemnie jednoznaczną), gdy jest ona jednocześnie injekcją i surjekcją.

Oznaczenie
Zapisujemy $f:X \hookrightarrow\mathrel{\mspace{-15mu}}\rightarrow Y$ , co czytamy: $f$ prowadzi wzajemnie jednoznacznie ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ .

Uwaga
Jeśli $f:X\to Y$ jest bijekcją, to zbiory $X$ i $Y$ muszą mieć taką samę liczbę elementów.

Uwaga (Warunek odwracalności funkcji)
Funkcja $f:X\to Y$ jest odwracalna (posiada funkcję odwrotną) wtedy i tylko wtedy, gdy $f$ jest bijekcją.

Ćwiczenie: która z przedstawionych funkcji jest iniekcją, bijekcją, surjekcją?

Przekształcanie wykresów funkcji

Zakładamy, że znamy wykres $f:\mathbb R\supset X \to Y \subset \mathbb R$ .

Własność

1. Wykres funkcji $x\mapsto f(x)+a$ otrzymujemy poprzez translację wykresu funkcji $f$ o wektor ${\vec {v}}= [0,a]$ (przesunięcie do góry o $a$ ).

2. Wykres funkcji $x\mapsto f(x+a)$ otrzymujemy poprzez translację wykresu funkcji $f$ o wektor ${\vec {v}}= [-a,0]$ (przesunięcie w lewo o $a$ ).

3. Wykres funkcji $x\mapsto -f(x)$ otrzymujemy odbijając wykres funkcji $f$ symetrycznie względem osi $0x$ (zamiana góra-dół).

4. Wykres funkcji $x\mapsto f(-x)$ otrzymujemy odbijając wykres funkcji $f$ symetrycznie względem osi $0y$ (zamiana lewo-prawo).

5. Wykres funkcji $x\mapsto 2f(x)$ otrzymujemy przekształcając wykres funkcji $f$ w powinowactwie prostokątnym o osi $0x$ i skali $2$ (dwukrotne rozciągnięcie w kierunku od osi $0x$ ).

6. Wykres funkcji $x\mapsto f(2x)$ otrzymujemy przekształcając wykres funkcji $f$ w powinowactwie prostokątnym o osi $0y$ i skali $\frac{1}{2}$ (dwukrotne ściśnięcie w kierunku do osi $0y$ ).

7. Wykres funkcji $x\mapsto \vert f(x)\vert$ otrzymujemy odbijając symetrycznie względem osi $0x$ część wykresu funkcji $f$ leżącą pod tą osią i pozostawiając resztę wykresu funkcji $f$ bez zmian (odbicie części dolnej na stronę górną).

8. Wykres funkcji $x\mapsto f(\vert x\vert)$ otrzymujemy odbijając symetrycznie względem osi $0y$ część wykresu funkcji $f$ leżącą na prawo od tej osi i pozostawiając resztę wykresu funkcji $f$ bez zmian (odbicie części prawej na stronę lewą).

Przykład: Narysujmy wykres funkcji $f:\mathbb R\ni x\mapsto 2^{x+3}$ . Rozwiązanie: Rysujemy znany wykres funkcji wykładniczej $x\mapsto 2^x$ o podstawie 2 (większej od 1), zaznaczając na nim przynajmniej dwa jego punkty charakterystyczne, a mianowicie $P_1=(0,1)$ , $P_2=(1,2)$ . Następnie przesuwamy ten wykres w lewo o wektor $[-3,0]$ , otrzymując wykres $f$ (naszkicowany na czerwono).

Przykład: Narysujmy wykres funkcji $g:\mathbb R \ni x\mapsto\left({1\over 3}\right)^{x-1}+2$ . Rozwiązanie: Rysujemy znany wykres funkcji wykładniczej $x\mapsto\left({1\over 3}\right)^x$ o podstawie mniejszej od 1, zaznaczając na nim przynajmniej dwa jego punkty charakterystyczne. Następnie przesuwamy ten wykres w prawo o wektor $[1,0]$ , otrzymując wykres funkcji $x\to\left({1\over 3}\right)^{x-1}$ (na zielono) i na koniec dokonujemy translacji wykresu zielonego do góry o wektor $[0,2]$ , otrzymując wykres funkcji $g$ (czerwony).

Przykład: Narysujmy wykres funkcji $h:\mathbb R^+ \ni x\mapsto -\vert\log_3(x)\vert+1$ . Rozwiązanie: Rysujemy znany wykres funkcji $x\mapsto \log_3x$ o podstawie 3 (większej od 1), zaznaczając na nim przynajmniej dwa jego punkty charakterystyczne (z lewej u góry). Następnie tę część wykresu $x\mapsto \log_3x$ , gdzie funkcja przyjmuje wartości ujemne (leżącą pod osią $0x$ ) przekształcamy poprzez symetrię osiową względem $0x$ a resztę pozostawiamy bez zmian, otrzymując wykres funkcji $x\mapsto\vert\log_3x\vert$ (z prawej u góry). Tak otrzymany wykres przekształcamy przez symetrię osiowa względem $0x$ , otrzymując wykres $x\mapsto -\vert\log_3x\vert$ (z lewej na dole). Na koniec przesuwamy całość o wektor $[0,1]$ , otrzymując wykres funkcji $h$ (z prawej na dole).

dostęp do własnych plusów, ocen, obecności i materiałów dydaktycznych po zalogowaniu

5 ms - 33123 wyświetleń