mathic.com: Krzysztof Wesołowski - Kurs: [30h] Matematyka - Zajęcia: Wykład 2 - Funkcje elementarne (liniowa, homografia, wielomian, pierwiastek, wykładnicza, logarytmiczna, trygonometryczne, cyklometryczne)

Kurs: [30h] Matematyka - Wykład

Temat: Wykład 2 - Funkcje elementarne (liniowa, homografia, wielomian, pierwiastek, wykładnicza, logarytmiczna, trygonometryczne, cyklometryczne)

Data zajęć: 2019-10-11

Ogłoszenia: 9:15-10:45

Treść zajęć

Przegląd funkcji jednej zmiennej rzeczywistej

Funkcja afiniczna (nazywana w szkole liniową)

Definicja (Funkcja afiniczna)
Niech $a,b$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Funkcję $x\mapsto ax+b$ nazywamy funkcją afiniczną (będziemy dopuszczać nazywanie funkcji afinicznej funkcją liniową, uwzględniając przyzwyczajenie ze szkoły).

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji afinicznych.

Własność
Zachodzą własności:

a) Wykresem funkcji afinicznej jest prosta.

b) Funkcja $f(x)=ax+b$ jest ściśle rosnąca, gdy $a > 0$ i ściśle malejąca, gdy $a < 0$ . Jest bijekcją zbioru $\mathbb{R}$ na zbiór $\mathbb{R}$ , gdy $a\neq 0$ .

Funkcja homograficzna

Definicja (Funkcja homograficzna)
Niech $a,b,c,d$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi takimi,że $ad-bc\neq 0$ . Funkcję $x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d}$ nazywamy funkcją homograficzną lub - krótko - homografią.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji homograficznej.

Spostrzeżenie
Funkcja afiniczna jest szczególnym przypadkiem funkcji homograficznej, gdy $c=0$ i $d=1$ .

Wielomian

Definicja (Jednomian)
Niech $a$ będzie stałą, niech $n=0,1,2,3,...$ będzie liczbą całkowitą nieujemną, a $x$ - zmienną. Wyrażenie algebraiczne $a x^n$ nazywamy jednomianem zmiennej $x$ . Jeśli $a\neq 0$ ,to liczbę $n$ nazywamy stopniem jednomianu $a x^n$ .

Na rysunku przedstawiono wykresy jednomianów.

Własność
Zachodzą własności:

a) Funkcja $x\mapsto x^n$ jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest liczbą nieparzystą.

b) Jeśli $n > 0$ jest parzystą liczbą naturalną, to zacieśnienie funkcji $f(x)=x^n$ do przedziału $[0, \infty)$ jest funkcją różnowartościową.

Definicja (Wielomian)
Sumę $w(x)=a_0 +a_1 x+a_2 x^2 +...+a_n x^n$ skończonej liczby jednomianów zmiennej $x$ nazywamy wielomianem zmiennej $x$ . Największy ze stopni tych jednomianów, nazywamy stopniem wielomianu.

Definicja (Funkcja wielomianowa)
Funkcję $x\mapsto w(x)=a_0 +a_1 x+a_2 x^2+...+a_n x^n$ nazywamy funkcją wielomianową lub - krótko - wielomianem.

Na rysunku przedstawiono wykresy wielomianów stopnia 2 (paraboli).

Uwaga
Suma oraz iloczyn wielomianów jest wielomianem.

Ćwiczenie
Jaki ma stopień suma i iloczyn wielomianów stopnia 4 i stopnia 5?

Pierwiastek

Definicja (Funkcja pierwiastek)
Niech $n\in\{2,3,4,...\}$ będzie liczbą naturalną większą od jedności. Liczbę nieujemną $y$ nazywamy pierwiastkiem arytmetycznym stopnia $n$ z liczby nieujemnej $x$ , jeśli $y^n=x.$ Pierwiastek stopnia $n$ z liczby $x\geq 0$ oznaczamy symbolem $\root{n}\of{x}$ . Funkcją pierwiastek stopnia $n$ nazywamy odwzorowanie $x\mapsto\root{n}\of{x}$ .

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji pierwiastek.

Własność
Zachodzą własności:

a) Funkcją odwrotną do $f(x)=x^{n}$ jest funkcja pierwiastek stopnia $n$ : $g(x)=\root{n}\of{x}$ , określona na przedziale $[0,\infty)$ , o wartościach w $[0,\infty)$ .

b) Jeśli $n > 0$ jest nieparzystą liczbą naturalną, to funkcja $f(x)=x^n$ jest różnowartościowa na przedziale $(-\infty,+\infty)$ . Funkcją odwrotną do niej jest funkcja $g(x)=\begin{cases}\root{n}\of{x}, \text{ dla } x\geq 0,\\-\root{n}\of{-x}, \text{ dla } x < 0.\end{cases}$ Dla nieparzystego $n$ funkcję pierwiastek stopnia $n$ , zamiast powyższego zapisuj klamrowego, zapisuje się skrótowo $g(x)=\root{n}\of{x}$ , mając tu na myśli dla ujemnych argumentów sens jak wyżej.

Funkcja wykładnicza

Definicja (Funkcja wykładnicza)
Niech $a > 0$ będzie dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą. Funkcję $x\mapsto a^x$ określoną na zbiorze liczb rzeczywistych nazywamy funkcją wykładniczą o podstawie $a$ .

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji wykładniczych o różnych podstawach.

Własność
Zachodzą własności:

a) Jeśli $a > 0,\ a\neq 1$ , funkcja wykładnicza $x\mapsto a^x$ jest bijekcją zbioru $\mathbb{R}$ na przedział $(0, \infty)$ . Nie zeruje się w żadnym punkcie swojej dziedziny.

b) Jeśli $a > 1$ , funkcja $x\mapsto a^x$ jest ściśle rosnąca, jeśli zaś $0 < a < 1$ , jest ściśle malejąca.

c) Jeśli $a=1$ , funkcja $x\mapsto a^x$ jest stała.

Oznaczenie (Symbol exponens)
Symbolem $\exp x$ będziemy oznaczać potęgę $e^x$ .

Funkcja logarytmiczna

Definicja (Funkcja logarytmiczna)
Niech $a\in (0,1)\cup (1, \infty)$ będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią, różną od jedności. Funkcję odwrotną do funkcji $x\mapsto a^x$ nazywamy funkcją logarytmiczną o podstawie $a$ i oznaczamy $x\mapsto \log_{a} x$ .

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji logarytmicznych o różnych podstawach.

Na rysunku pokazano wzajemną odwrotność funkcji wykładniczej i logarytmicznej o podstawie $a > 1$ .

Na rysunku pokazano wzajemną odwrotność funkcji wykładniczej i logarytmicznej o podstawie $0 < a < 1$ .

Komentarz
Niekiedy pomija się indeks $a$ w oznaczeniu logarytmu liczby $x$ i pisze się krótko $\log x$ . Poprzez $\log x$ będziemy rozumieć $\log x=\log_{10}x$ , choć warto podkreślić, że w zależności od dziedziny nauki czy techniki, symbol ten może oznaczać logarytm o innej podstawie, na przykład informatycy często posługują się tym symbolem, mając na myśli logarytm o podstawie 2, tzn. $\log x=\log_2 x$ .

Definicja (Logarytm naturalny)
Logarytmem naturalnym z liczby dodatniej $x$ - oznaczanym $\ln x$ - nazywamy liczbę $\ln x=\log_{e}x$ (gdzie $e=2,71828182846...$ ).

Własność
Zachodzą własności:

a) Jeśli $a > 0, \ a\neq 1$ , funkcja logarytmiczna $x\mapsto \log_{a}x$ jest bijekcją przedziału $(0, \infty)$ na zbiór $\mathbb{R}$ .

b) Jeśli $a > 1$ , funkcja $x\mapsto \log_{a}x$ jest ściśle rosnąca, jeśli zaś $0 < a < 1$ , jest ściśle malejąca.

c) Jedynym miejscem zerowym funkcji logarytmicznej $x\mapsto\log_{a}x$ jest punkt $x=1$ .

d) Jeśli $a > 1$ , to logarytm $\log_a x$ jest dodatni w przedziale $(1, \infty)$ i jest ujemny w przedziale $(0,1)$ . Jeśli zaś $0 < a < 1$ , to logarytm $\log_a x$ jest ujemny w przedziale $(1, \infty)$ i jest dodatni w przedziale $(0,1)$ .

Spostrzeżenie
Przypomnijmy jeszcze kilka tożsamości, z których często będziemy korzystać:

a) Dla $a > 0$ , $x, y\in\mathbb{R}$ zachodzą równości $(a^x)^y=a^{xy}$ oraz $a^x a^y=a^{x+y}$ .

b) Dla dodatnich liczb $a,b,c$ , $a\neq 1$ , $c\neq 1$ prawdziwy jest wzór na zmianę podstawy logarytmu $\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a},$ w szczególności, gdy $c=e$ , mamy równość $\log_a b=\frac{\ln b}{\ln a}.$

c) Dla dowolnej liczby $b\in \mathbb{R}$ i dodatnich $a > 0$ , $c > 0$ zachodzi równość $a^b=c^{b\log_{c} a},$ która w szczególnym przypadku, gdy $c=e$ , ma postać $a^b=\exp(b \ln a).$

Funkcje trygonometryczne

Przypominamy, że $\pi[rad] = 180^{\circ}$ .
Przedział $(0,\frac{\pi}{2})$ nazywamy 1 ćwiartką, $(\frac{\pi}{2},\pi)$ nazywamy 2 ćwiartką, $(\pi,\frac{3}{2}\pi)$ nazywamy 3 ćwiartką, $(\frac{3}{2}\pi,2\pi)$ nazywamy 4 ćwiartką.

Własność
Poniżej przedstawiono tabelę popularnych wartości funkcji trygonometrycznych dla argumentów w 1 ćwiartce:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & & & & & \\ \alpha[\text{rad}] & {0} & {\frac{\pi}{6}} & {\frac{\pi}{4}} & {\frac{\pi}{3}} & {\frac{\pi}{2}} \\ & & & & & \\ \hline & & & & & \\ \alpha[^\circ] & {0^{\circ}} & {30^{\circ}} & {45^{\circ}} & {60^{\circ}} & {90^{\circ}} \\ & & & & & \\ \hline \hline & & & & & \\ {\sin \alpha} & {\frac{\sqrt{0}}{2}} & {\frac{\sqrt{1}}{2}} & {\frac{\sqrt{2}}{2}} & {\frac{\sqrt{3}}{2}} & {\frac{\sqrt{4}}{2}} \\ & & & & & \\ \hline & & & & & \\ {\cos \alpha} & {\frac{\sqrt{4}}{2}} & {\frac{\sqrt{3}}{2}} & {\frac{\sqrt{2}}{2}} & {\frac{\sqrt{1}}{2}} & {\frac{\sqrt{0}}{2}} \\ & & & & & \\ \hline & & & & & \\ {\operatorname{tg} \alpha} & {0} & {\frac{1}{\sqrt{3}}} & {1} & {\sqrt{3}} & {\text {nie istnieje}} \\ & & & & & \\ \hline & & & & & \\ {\operatorname{ctg} \alpha} & {\text{nie istnieje}} & {\sqrt{3}} & {1} & {\frac{1}{\sqrt{3}}} & {0} \\ & & & & & \\ \hline \end{array}$

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji sinus. Zauważmy, że sinus jest dodatni w 1 i 2 ćwiartce.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji cosinus. Zauważmy, że cosinus jest dodatni w 2 i 3 ćwiartce.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji tangens. Zauważmy, że tangens jest dodatni w 1 i 3 ćwiartce.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji cotangens. Zauważmy, że cotangens jest dodatni w 1 i 3 ćwiartce.

Własność (Wzory redukcyjne)
Zachodzą następujące wzory, zwane wzorami redukcyjnymi:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \varphi & 0-\alpha & \frac{\pi}{2}-\alpha & \frac{\pi}{2}+\alpha & \pi-\alpha & \pi+\alpha & \frac{3}{2}\pi-\alpha & \frac{3}{2}\pi+\alpha & 2\pi-\alpha & 2\pi+\alpha \\ \hline \hline\sin \varphi & - \sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha & - \sin \alpha & - \cos \alpha & - \cos \alpha & - \sin \alpha & \sin \alpha \\ \hline \cos \varphi & \cos \alpha & \sin \alpha & - \sin \alpha & - \cos \alpha & - \cos \alpha & - \sin \alpha & \sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \\ \hline \text{tg } \varphi & - \text{tg }\alpha & \text{ctg } \alpha & - \text{ctg } \alpha & - \text{tg }\alpha & \text{tg }\alpha & \text{ctg } \alpha & - \text{ctg } \alpha & - \text{tg }\alpha & \text{tg }\alpha \\ \hline \text{ctg } \varphi & - \text{ctg } \alpha & \text{tg }\alpha & - \text{tg }\alpha & - \text{ctg } \alpha & \text{ctg } \alpha & \text{tg }\alpha & - \text{tg }\alpha & - \text{ctg } \alpha & \text{ctg } \alpha \\ \hline \end{array}$
Pomagają one wyznaczyć wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów $\varphi$ z dowolnej ćwiartki. Aby łatwo te wzory zapamiętać wystarczy zauważyć, że:

1. jeśli kąt $\varphi$ wyraża się poprzez $0$ lub $\pi$ lub $2\pi$ , to funkcja nie zmienia się na kofunkcję.

2. jeśli kąt $\varphi$ wyraża się poprzez $\frac{\pi}{2}$ lub $\frac{3}{2}\pi$ , to funkcja zmienia się na kofunkcję.

3. znak określa się na podstawie ćwiartki $\varphi$ pamiętając, że w pierwszej ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus.

Przykład
Obliczyć $\sin(330^{\circ})$ .
Sposób 1: $\sin(330^{\circ})$ $= \sin(270^{\circ}+60^{\circ})$ $= \sin(\frac{3}{2}\pi+\frac{\pi}{3})$ $= -\cos(\frac{\pi}{3})$ $= -\frac{1}{2}$ .
Sposób 2: $\sin(330^{\circ})$ $= \sin(360^{\circ}-30^{\circ})$ $= \sin(2\pi-\frac{\pi}{6})$ $= -\sin(\frac{\pi}{6})$ $= -\frac{1}{2}$ .

Uwaga
Każda z funkcji trygonometrycznych, po odpowiednim zawężeniu, staje się injekcją:

a) Funkcja $f(x)=\sin x$ zacieśniona do przedziału $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ jest różnowartościowa, ściśle rosnąca.

b) Funkcja $f(x)=\cos x$ zacieśniona do przedziału $[0, \pi]$ jest różnowartościowa, ściśle malejąca.

c) Funkcja $f(x)=\mathrm{tg}\, x$ zacieśniona do przedziału $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ (pojedyncza gałąź przechodząca przez $(0,0)$ ) jest różnowartościowa, ściśle rosnąca.

d) Funkcja $f(x)=\mathrm{ctg}\, x$ zacieśniona do przedziału $(0, \pi)$ (pojedyncza gałąź przechodząca przez $(\frac{\pi}{2},0)$ ) jest różnowartościowa, ściśle malejąca.

Twierdzenie
Dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ suma kwadratów cosinusa i sinusa jest równa jedności, tzn. $\forall x\in \mathbb{R}: \cos^2 x+\sin^2 x=1$ .

Funkcje cyklometryczne

Definicja (Funkcja arcus sinus)
Funkcję określoną na przedziale $[-1,1]$ o wartościach w przedziale $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ , odwrotną do zacieśnienia funkcji sinus do przedziału $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ , nazywamy arcusem sinusem i oznaczamy symbolem $x\mapsto \arcsin x$ .

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji wzajemnie odwrotnych: funkcji arcus sinus i zacieśnienia do przedziału $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ funkcji sinus.

Definicja (Funkcja arcus cosinus)
Funkcję określoną na przedziale $[-1,1]$ o wartościach w przedziale $[0, \pi]$ , odwrotną do zacieśnienia funkcji cosinus do przedziału $[0, \pi]$ , nazywamy arcusem cosinusem i oznaczamy symbolem $x\mapsto \arccos x$ .

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji wzajemnie odwrotnych: funkcji arcus cosinus i zacieśnienia do przedziału $[0,\pi]$ funkcji cosinus.

Definicja (Funkcja arcus tangens)
Funkcję określoną na przedziale $(-\infty,\infty)$ o wartościach w przedziale $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ , odwrotną do zacieśnienia funkcji tangens do przedziału $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ , nazywamy arcusem tangensem i oznaczamy symbolem $x\mapsto \mathrm{arctg}\, x$ .

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji wzajemnie odwrotnych: funkcji arcus tangens i zacieśnienia do przedziału $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ funkcji tangens.

Definicja (Funkcja arcus cotangens)
Funkcję określoną na przedziale $(-\infty, \infty)$ o wartościach w przedziale $(0, \pi)$ , odwrotną do zacieśnienia funkcji cotangens do przedziału $(0, \pi)$ , nazywamy arcusem cotangensem i oznaczamy symbolem $x\mapsto \mathrm{arc\,ctg}\, x$ .

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji wzajemnie odwrotnych: funkcji arcus cotangens i zacieśnienia do przedziału $(0,\pi)$ funkcji cotangens.

Oznaczenie
Funkcje: arcus sinus, arcus cosinus, arcus tangens i arcus cotangens nazywamy funkcjami cyklometrycznymi.

Spostrzeżenie
Funkcje arcus sinus i arcus tangens są ściśle rosnące. Funkcje arcus cosinus i arcus cotangens - ściśle malejące.

dostęp do własnych plusów, ocen, obecności i materiałów dydaktycznych po zalogowaniu

3 ms - 33121 wyświetleń