mathic.com: Krzysztof Wesołowski - Kurs: [30h] Matematyka - Zajęcia: Wykład 3 - Ciągi liczbowe (definicja, monotoniczność, ograniczoność)

Kurs: [30h] Matematyka - Wykład

Temat: Wykład 3 - Ciągi liczbowe (definicja, monotoniczność, ograniczoność)

Data zajęć: 2019-10-18

Ogłoszenia: 9:15-10:45

Treść zajęć

Ciągi liczbowe

Komentarz (Tytułem wstępu)
W tej sekcji będziemy rozważać ciągi liczbowe. Wyobrażenie ciągu liczbowego, to liczby ustawione w rzędzie: któraś liczba jest pierwsza, któraś druga, itp. - niekoniecznie "rosnąco". Istotna jest kolejność tych liczb. Każda z liczb ma swój numer w tej kolejce (pierwsza, druga, itp.). Zamiana kolejności tworzy (z reguły) inny ciąg. Przykładowo na taśmie fabryki montującej samochody najpierw musi zostać zamontowany silnik, a dopiero później klapa silnika. Tym właśnie ciąg liczbowy różni się od zbioru liczb - w przypadku zbiorów nie ważna jest kolejność, a jedynie zawartość.

Oznaczenie (Ciąg liczbowy)
Przykład ciągu liczbowego nieskończonego: $(2,\pi,\frac{3}{4},12,\sqrt{2},21,\frac{1}{2},\ldots) \neq (\pi,2,\frac{3}{4},12,\sqrt{2},21,\frac{1}{2},\ldots)$ (tu ważne w jakiej kolejności liczby są ustawione).

Oznaczenie (Zbiór liczb)
Przykład zbioru: $\{2,\pi,\frac{3}{4},12,\sqrt{2},21,\frac{1}{2},\ldots\}=\{\pi,2,\frac{3}{4},12,\sqrt{2},21,\frac{1}{2},\ldots\}$ (tu nie istotne w jakiej kolejności liczby są ustawione - dowolne pomieszanie jego zawartości nic nie zmienia).

Oznaczenie (Inne pomysły)
Przykład ciągu "literowego" skończonego: $(a, l, a, m, a, k, o, t, a)\neq (k, o, t, a, a, l, a, m, a)$ .

Ciąg można też zobrazować na wykresie. Po lewej stronie mamy zilustrowany ciąg $(a_{1}, a_{2}, a_{3},\ldots)$ . Na wykresie mamy na osi poziomej zaznaczony numer $n$ elementu ciągu, a na osi pionowej odłożoną jego wartość $a_n$ . Podkreślić trzeba fakt, że dziedziną takiej funkcji są liczby naturalne (numeracja elementów ciągu), zaś jej wartości mogą być dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Zatem mówimy o funkcjach postacji $a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ .

Definicja ciągu liczbowego

Definicja (Ciąg liczbowy)
Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję $a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ , która odwzorowuje zbiór liczba naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych.

Oznaczenie
Wartość tej funkcji dla liczby naturalnej $n$ nazywamy wyrazem ciągu i oznaczamy przez $a_n$ (to znaczy $a_n = a(n)$ ). Można też użyć innych liter, np. $b_n$ , itp. W odróżnieniu od konkretnych wyrazów, całe ciągi oznaczamy poprzez $(a_n)$ , $(b_n)$ , $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ , $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ , itp. Z kolei zapis $\{a_n\}$ , $\{b_n\}$ , $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ , $\{b_n\}_{n=1}^{\infty}$ oznacza zbiory.

Oznaczenie
Ciąg liczbowy można określić poprzez podanie wzoru na jego $n$ -ty element:

a) $a_n=2^n$ (czyli $a_1=2$ , $a_2=4$ , $a_2=8$ , ...)

b) $b_n=\frac{1}{\sin n}$

c) $c_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$

d) $d_n=1+2^2+3^3+\ldots +n^n$

Oznaczenie
Ciąg liczbowy można określić poprzez określenie $n$ -tego elementu na podstawie elementu poprzedniego (rekurencyjnie):

a) $a_1=7$ , $a_{n+1}=a_n+2$ (zatem $a_1=7,\,a_2=9,\,a_3=11,\,\ldots$ ) - jest to ciąg arytmetyczny z $r=2$

b) $b_1=2$ , $b_{n+1}=3\cdot b_n$ (zatem $b_1=2,\,b_2=6,\,b_3=18,\,\ldots$ ) - jest to ciąg geometryczny z $q=3$

c) $c_1=1$ , $c_2=1$ , $c_{n+2}=c_n+c_{n+1}$ dla $n\geq 3$ - ciąg Fibbonaciego wynoszący $(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,\ldots)$ .

Oznaczenie
Ciąg liczbowy można określić opisowo:

a) $a_n$ - $n$ -ta liczba pierwsza, czyli $(2,3,5,7,11,13,\ldots)$ .

b) $b_n$ - zero, gdy $n$ -parzyste, jeden, gdy $n$ -nieparzyste, czyli $(1,0,1,0,1,0,\ldots)$ .

c) $c_n$ - iloraz $1$ i $n$ , czyli $(\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6},\ldots)$ .

Ćwiczenie
Określić przepis na $n$ -ty wyraz ciągu (spróbuj najpierw własnymi słowami, a następnie wzorem):

a) $(a_n)=(1,3,5,7,9,11,\dots)$ (czyli $a_{n}=2n-1$ )

b) $(b_n)=(-1,1,-1,1,-1,1,\dots)$ (czyli $a_{n}=(-1)^{n}$ )

c) $(c_n)=(-1,3,-1,3,-1,3,\dots)$ (czyli $a_{n}=2(-1)^{n}+1$ )

d) $(d_n)=(1,1,2,2,3,3,\dots)$ (czyli $a_{n}=\lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor$ , gdzie $\lfloor \cdot \rfloor:\,\mathbb{R}\to \mathbb{Z}$ jest funkcją zaokrąglającą dowolną liczbę rzeczywistą w dół do najbliższej całkowitej (funkcja "podłoga"))

e) $(e_n)=(1,3,9,27,81,\dots)$ (czyli $a_{n}=3^{n-1}$ )

f) $(f_n)=(0,\frac{1}{2},\frac{2}{3},\dots)$

g) $(g_n)=(1,0,0,1,0,0,\dots)$

h) $(h_n)=(1,1,2,3,5,8,13,21,34,\dots)$

i) $(i_n)=(1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,\dots)$

j) $(j_n)=(1,0,2,0,3,0,4,0,\dots)$

k) $(k_n)=(2,1,4,3,6,5,8,7,\dots)$

Definicja (Ogon ciągu liczbowego)
Ogonem ciągu liczbowego nazywamy nowoutworzony ciąg z ciągu oryginalnego poprzez ewentualne odrzucenie dowolnej skończonej liczby początkowych wyrazów.

Monotoniczność ciągu liczbowego

Definicja (Ciąg rosnący)
Ciąg $(a_n)$ nazywamy rosnącym, jeśli $a_1 < a_2 < a_3 < \ldots$ , to znaczy $\forall n\in\mathbb{N} \; a_n < a_{n+1}$ .

Definicja (Ciąg malejący)
Ciąg $(a_n)$ nazywamy malejącym, jeśli $a_1 > a_2 > a_3 > \ldots$ , to znaczy $\forall n\in\mathbb{N} \; a_n > a_{n+1}$ .

Definicja (Ciąg stały)
Ciąg $(a_n)$ nazywamy stałym, jeśli $a_1=a_2=a_3=\ldots$

Na wykresie zobrazowano przykład ciągu rosnącego, malejącego oraz stałego.

Definicja (Ciąg niemalejący)
Ciąg $(a_n)$ nazywamy niemalejącym, jeśli $a_1\leq a_2\leq a_3\leq \ldots$ , to znaczy $\forall n\in\mathbb{N} \; a_n\leq a_{n+1}$ .

Definicja (Ciąg nierosnący)
Ciąg $(a_n)$ nazywamy nierosnącym, jeśli $a_1\geq a_2\geq a_3\geq \ldots$ , to znaczy $\forall n\in\mathbb{N} \; a_n\geq a_{n+1}$ .

Na wykresie zobrazowano przykład ciągów: niemalejącego i nierosnącego.

Definicja (Ciąg monotoniczny)
Ciąg $(a_n)$ nazywamy monotonicznym, jeśli jest rosnący, malejący, nierosnący lub niemalejący.

Uwaga
Ciąg stały jest jednocześnie nierosnący i niemalejący, zatem również jest monotoniczny.

Przykład ciągu, który nie jest monotoniczny.

Komentarz
Załóżmy, że rozpatrujemy ciąg rosnący o wyrazach dodatnich. Spełnia on zatem warunek $\forall n\in\mathbb{N} \quad a_{n} < a_{n+1}$ . Dzieląc obustronnie przez $a_n$ otrzymujemy inny warunek na własność bycia ciągiem rosnącym: $\forall n\in\mathbb{N}:\,\frac{a_{n+1}}{a_{n}} > 1$ . Tu należy mocno podkreślić, że "zagrało" założenie o wyrazach dodatnich, w przeciwnym razie nierówność zmieniałaby kierunek zawsze gdy $a_n$ byłoby ujemne, zatem warunek byłby niepraktyczny do zastosowań.

Uwaga (Badanie monotoniczności ciągu na podstawie różnicy i ilorazu kolejnych wyrazów)
Z powyższego komentarza wyciągamy następujący wniosek: monotoniczność w praktyce najwygodniej określić na dwa sposoby:

a) można zbadać znak różnicy $a_{n+1}-a_n$

b) lub - w przypadku, gdy wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie - zbadać wartość ilorazu $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ .

Możliwe przypadki przedstawia tabela:
$\begin{matrix} \hline \text{Ciag} & a_{n+1}-a_n & \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \\ \hline \text{rosnacy} & > 0 & > 1 \\ \text{malejacy} & < 0 & < 1 \\ \text{nierosnacy} & \leq 0 & \leq 1 \\ \text{niemalejacy} & \geq 0 & \geq 1 \\ \hline \end{matrix}$

Przykład
Zbadać monotoniczność ciągu $a_n=\frac{3n-1}{n+3}, n\in\mathbb{N}$ .
Rozwiązanie: Zbadamy znak różnicy $a_{n+1}-a_n$ . Mamy $a_{n+1}-a_n$ $=\frac{3n+2}{n+4}-\frac{3n-1}{n+3}$ $= \frac{(3n+2)(n+3)-(3n-1)(n+4)}{(n+4)(n+3)}$ $=\frac{10}{(n+4)(n+3)} > 0$ dla $n \in \mathbb{N}$ . Widzimy, że różnica $a_{n+1}-a_n$ jest dodatnia dla wszystkich $n \in \mathbb{N}$ , czyli ciąg $(a_n)$ jest rosnący.

Przykład
Zbadać monotoniczność ciągu $b_n=\frac{1}{2^n} , n \in \mathbb{N}$ .
Rozwiązanie: Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, więc możemy zbadać iloraz $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ . Mamy $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ $=\frac{1}{2^{n+1}} \cdot 2^n$ $=\frac{1}{2} < 1$ dla $n \in \mathbb{N}$ . Widzimy, że iloraz $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ jest mniejszy od 1 dla wszystkich $n \in \mathbb{N}$ , czyli ciąg $(b_n)$ jest malejący.

Przykład
Zbadać monotoniczność ciągu $c_n=\sqrt{n^2-2n}, n \geq 2$ .
Rozwiązanie: Zbadamy znak różnicy $c_{n+1}-c_n$ . Mamy $c_{n+1}-c_n$ $=\sqrt{(n+1)^2-2(n+1)}-\sqrt{n^2-2n}$ $=(\sqrt{n^2-1}-\sqrt{n^2-2n}) \cdot \frac{\sqrt{n^2-1} +\sqrt{n^2-2n}}{\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2-2n}}$ $=\frac{n^2-1-n^2+2n}{\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2-2n}}$ $=\frac{2n-1}{\sqrt{n^2-1}+ \sqrt{n^2-2n}} > 0$ dla $n \geq 2$ . Obliczamy jeszcze $c_3=\sqrt{3}$ i $c_2=0$ i zauważamy, że $c_3-c_2 > 0$ . Wykazaliśmy, że różnica $c_{n+1}-c_n$ jest dodatnia dla wszystkich $n \geq 2$ , czyli ciąg $(c_n)_{n \geq 2}$ jest rosnący.

Ćwiczenie
Sprawdzić, że podane ciągi są rosnące:

a) $a_{n}=\frac{n-1}{n}$

b) $b_{n}=n^{2}-n$

c) $c_{n}=\frac{1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(2 n-1)}{n !}$

d) $d_{n}=5^{n}-3^{n}-2^{n}$

e) $e_{n}=\frac{(3 n) !}{(n !)^{3}}$

f) $f_{n}=\log_{n+1} n$

Uwaga (Monotoniczność od pewnego miejsca)
Można mówić o ciągach monotonicznych od pewnego miejsca. Są to ciągi, które stają się monotoniczne po wyrzuceniu pewnej liczby początkowych wyrazów (czyli takich, których ogon stanowi ciąg monotoniczny)

Przykłady ciągów monotonicznych od pewnego miejsca.

Przykład
Zbadać monotoniczność ciągu $a_n=n^2-6n+8$ .
Rozwiązanie: Dziedziną ciągu jest zbiór $\mathbb{N}$ . Badamy znak różnicy $a_{n+1}-a_n$ . Mamy $a_{n+1}-a_n$ $=(n+1)^2-6(n+1)+8-(n^2-6n+8)=2n-5 > 0$ dla $n > \frac{5}{2}$ . Widzimy, że różnica $a_{n+1}-a_n$ jest dodatnia tylko dla $n > \frac{5}{2}$ , czyli ciąg $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ jest rosnący od 3-go miejsca.

Przykład
Zbadać monotoniczność ciągu $b_n=\frac{1}{1+(n-5)^2}$ .
Rozwiązanie: Dziedziną ciągu jest zbiór $\mathbb{N}$ . Badamy znak różnicy $b_{n+1}-b_n$ . Mamy $b_{n+1}-b_n$ $=\frac{1}{1+(n-4)^2}-\frac{1}{1+(n-5)^2}$ $=\frac{-2n+9}{[1+(n-4)^2][1+(n-5)^2]} < 0$ dla $n > \frac{9}{2}$ . Widzimy, że różnica $b_{n+1}-b_n$ jest ujemna tylko dla $n > \frac{9}{2}$ , czyli ciąg $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ jest malejący od 5-go miejsca.

Ćwiczenie
Zbadać, czy poniższe ciągi są monotoniczne od pewnego miejsca:

a) $a_{n}=\frac{4n+1}{n+1}$

b) $b_{n}=\sqrt{n^{2}+2 n}-n$

c) $c_{n}=\frac{100^{n}}{n!}$

d) $d_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$

e) $e_{1}=\sqrt{2}, e_{n+1}=\sqrt{2+e_{n}}$

f*) $f_{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{n+n}$

g) $g_{n}=\sqrt[n]{2^{n}+1}$

h*) $h_{n}=\sqrt[n+1]{n+1}$

Ćwiczenie
Niech $p_n$ oznacza długość największej przekątnej $n$ -kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu $1$ . Czy dla $n\geq 4$ ciąg $(p_n)$ jest monotoniczny?

Ograniczoność ciągu liczbowego

Definicja (Ciąg ograniczony od dołu)
Ciąg $(a_n)$ nazywamy ograniczonym od dołu, jeżeli spełniony jest warunek $\exists m\in\mathbb{R} \; \forall n\in\mathbb{N} \: m\leq a_n$ .

Można rozumieć, że ciąg jest ograniczony od dołu, jeśli istnieje liczba $m$ mniejsza lub równa od dowolnego wyrazu ciągu, lub że wszystkie jego wyrazy leżą nad pewną poziomą prostą.

Definicja (Ciąg ograniczony od góry)
Ciąg $(a_n)$ nazywamy ograniczonym od góry, jeżeli spełniony jest warunek $\exists M\in\mathbb{R} \; \forall n\in\mathbb{N} \: a_n\leq M$ .

Można rozumieć, że ciąg jest ograniczony od góry, jeśli istnieje liczba $M$ większa lub równa od dowolnego wyrazu ciągu, lub że wszystkie jego wyrazy leżą pod pewną poziomą prostą.

Ćwiczenie
Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z dołu:

a) $a_{n}=\sqrt[n]{2}$

b) $b_{n}=\frac{n}{n+1}$

c) $c_{n}=\log _{3} n$

d) $d_{n}=10 n-n^{2}$

e) $e_{n}=\operatorname{ctg} \frac{\pi}{3 n}$

Ćwiczenie
Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z góry:

a) $a_{n}=3^{-n}$

b) $b_{n}=\frac{n^{2}+1}{n}$

c) $c_{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{n+n}$

d) $d_{n}=\frac{(n+1) !}{n !+100}$

e) $e_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$

f*) $f_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}$

Definicja (Ciąg ograniczony)
Ciąg $(a_n)$ nazywamy ograniczonym, jeżeli spełniony jest warunek $\exists m,M\in\mathbb{R} \: \forall n\in\mathbb{N} \; m\leq a_n\leq M$ .

Można rozumieć, że ciąg jest ograniczony, jeśli istnieją liczby $m$ , $M$ , które ograniczają z dołu i z góry wszystkie wyrazy ciągu. Na wykresie można to zobrazować jako fakt, że wszystkie wyrazu ciągu leżą pomiędzy dwoma prostymi poziomymi.

Przykład
Zbadaj ograniczoność ciągu $a_n=\frac{1}{3+n}$ .
Rozwiązanie: Zauważamy, że ciąg $a_n$ jest malejący, bo $a_{n+1}-a_n$ $=\frac{1}{4+n}-\frac{1}{3+n}$ $=\frac{-1}{(4+n)(3+n)} < 0$ . Zatem dla każdego $n \in \mathbb{N}$ jest $a_n < a_1=\frac{1}{4}$ . Z drugiej strony $a_n > 0$ dla wszystkich $n$ , czyli ciąg $(a_n)$ jest ograniczony.

Rysunek przedstawia ciąg nieograniczony. Widać, że nie da się go ograniczyć ani górną, ani dolną "poprzeczką".

Uwaga
Można w definicji ciągu ograniczonego żądać, aby $M=-m$ ; wtedy warunek przyjmuje postać $\exists M\in\mathbb{R} \; \forall n\in\mathbb{N} \; |a_n|\leq M$ , co oznacza $\exists M\in\mathbb{R} \; \forall n\in\mathbb{N} \; -M\leq a_n\leq M$ . To oszacowanie może być gorzej dopasowane (mniej optymalne) niż $\exists M,m\in\mathbb{R} \; \forall n\in\mathbb{N} \; m\leq a_n\leq M$ , ale nie zmienia to faktu, że ciąg, który ten warunek spełnia, jest ograniczony.

Ćwiczenie
Zbadać, czy poniższe ciągi są ograniczone:

a) $a_{n}=\frac{n}{n^{2}+1}$

b) $b_{n}=4-3 \cos n$

c) $c_{n}=n\left|\sin \frac{n \pi}{2}\right|$

d) $d_{n}=(-2)^{n}$

dostęp do własnych plusów, ocen, obecności i materiałów dydaktycznych po zalogowaniu

3 ms - 33116 wyświetleń