mathic.com: Krzysztof Wesołowski - Kurs: [30h] Matematyka - Zajęcia: Wykład 5 - Granice funkcji (definicja Cauchy'ego, Heinego, granica niewłaściwa, granica w nieskończoności, granice jednostronne, symbole oznaczone i nieoznaczone)

Kurs: [30h] Matematyka - Wykład

Temat: Wykład 5 - Granice funkcji (definicja Cauchy'ego, Heinego, granica niewłaściwa, granica w nieskończoności, granice jednostronne, symbole oznaczone i nieoznaczone)

Data zajęć: 2019-11-08

Ogłoszenia: 9:15-10:45

Treść zajęć

Granice funkcji zmiennej rzeczywistej

Definicja (Otoczenie i sąsiedztwo punktu)
Otoczeniem punktu $x_0\in \mathbb{R}$ nazywamy dowolny przedział otwarty $(a,b)$ zawierający ten punkt, tzn. $x_0\in (a,b)$ , a sąsiedztwem punktu $x_0\in \mathbb{R}$ nazywamy otoczenie z wyłączeniem punktu $x_0$ .

Oznaczenie
Otoczenie punktu $x_0\in \mathbb{R}$ oznaczamy symbolicznie $\mathcal{O}(x_0)$ , a sąsiedztwo punktu $x_0\in \mathbb{R}$ oznaczamy przez $\mathcal{S}(x_0)=\mathcal{O}(x_0)\setminus \{x_0\}$ .

Komentarz
W wielu sytuacjach, przy badaniu własności funkcji $f\colon D_f\to \mathbb{R}$ , gdzie $D_f\subset \mathbb{R}$ interesuje nas tylko jej zachowanie w bliskim sąsiedztwie punktu w którym funkcja nie musi być nawet określona. Mówimy wtedy o lokalnym zachowaniu się funkcji. Pojęcie granicy funkcji w punkcie należy właśnie do takiej kategorii własności.

Granica właściwa w punkcie według Cauchy'ego i Heinego

Definicja (Definicja Cauchy'ego granicy właściwej funkcji w punkcie)
Mówimy, że funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ granicę równą $g$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{\epsilon > 0}\exists_{\delta > 0}\forall_{x\in \mathcal{S}(x_0)\cap D_f}$ zachodzi implikacja $\left(x_{0}-\delta < x < x_{0}+\delta\right) \Rightarrow \left(g-\epsilon < f(x) < g+\epsilon\right)$ .

Oznaczenie
Zapisujemy wtedy $\lim_{x\to x_0}{f(x)} = g$ .

Rysunek przedstawia interpretację graficzną granicy (według Cauchy'ego) właściwej $g$ funkcji $f$ w punkcie $x_0$ : jeżeli dla dowolnie małego otoczenia (epsilonowego) punktu $g\in \mathbb{R}$ da się dobrać sąsiedztwo (deltowe) punktu $x_0$ tak, aby dla wszystkich argumentów z tego sąsiedztwa (deltowego), wartości funkcji dla tych argumentów wpadały do otoczenia punktu $g$ (epsilonowego).

Definicja (Definicja Heinego granicy właściwej funkcji w punkcie)
Mówimy, że funkcja $f\colon D_f\to \mathbb{R}$ ma granicę właściwą $g$ w punkcie $x_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{x_n\in \mathcal{S}(x_0)\cap D_f}\ \left(\lim_{n\to \infty}{x_n}=x_0\Rightarrow \lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=g\right)$ .

Oznaczenie
Zapisujemy wtedy $\lim_{x\to x_0}{f(x)} = g$ .

Rysunek przedstawia interpretację graficzną granicy (według Heinego) właściwej $g$ funkcji $f$ w punkcie $x_0$ : jeżeli dla dowolnego ciągu $(x_n)$ liczb różnych od $x_0$ zbieżnego do granicy $x_0$ , ciąg $f(x_n)$ jest zbieżny do granicy $g$ .

Twierdzenie (O równoważności definicji Cauchy’ego i Heinego)
Definicja Heinego granicy funkcji w punkcie jest równoważna odpowiedniej definicji Cauchy'ego.

Granica właściwa w nieskończoności

Definicja (Granica właściwa funkcji w plus nieskończoności)
Mówimy, że funkcja $f\colon (a,+\infty)\to \mathbb{R}$ ma w $+\infty$ granicę $g$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{x_n\in D_f}\left(\lim_{n\to \infty}{x_n}=+\infty \Rightarrow \lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=g\right)$ .

Oznaczenie
Zapisujemy wtedy $\lim_{x\to +\infty}{f(x)} = g$ .

Definicja (Granica właściwa funkcji w minus nieskończoności)
Mówimy, że funkcja $f\colon (-\infty, b)\to \mathbb{R}$ ma w $-\infty$ granicę $g$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{x_n\in D_f}\left(\lim_{n\to \infty}{x_n}=-\infty \Rightarrow \lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=g\right)$ .

Oznaczenie
Zapisujemy wtedy $\lim_{x\to -\infty}{f(x)} = g$ .

Granica funkcji $f$ w plus $+\infty$ to taka wartość (odczytujemy z osi $0y$ ), do której zmierzają wartości funkcji, gdy argumenty zmierzają do $+\infty$ . Zauważmy, że niebieskie argumenty uciekają nieograniczenie w prawo (czyli do $+\infty$ ), zaś odpowiadające im wartości odczytywane z wykresu (punkty czerwone) stabilizują się na poziomie około $y=7$ . Ta wartość jest granicą funkcji $f$ w $+\infty$ .

Przykład (Sinus nie ma granicy w nieskończoności)
Załóżmy na chwilę, że sinus ma granicę w nieskończoności wynoszącą $g$ . Zgodnie z definicją ciągową Heinego niezależnie od wyboru (zwróćmy uwagę na słowo - dowolnego - w definicji) ciągu $x_{n}$ powinno zachodzić $x_{n}\to\infty => \sin(x_{n})\to g$ . Niech najpierw $x_{n}:=n\pi$ . Wtedy $x_{n}=n\pi->\infty$ przy $n\to\infty$ oraz $\sin(x_{n})=\sin(n\pi)=0\to 0$ przy $n\to \infty$ . Niech teraz $x_{n}:=\frac{\pi}{2}+2n\pi$ . Wtedy $x_{n}=\frac{\pi}{2}+2n\pi->\infty$ przy $n\to\infty$ oraz $\sin(x_{n})=\sin(\frac{\pi}{2}+2n\pi)=1\to 1$ przy $n\to \infty$ . Wobec tego $g$ musiałoby być jednocześnie równe zero lub jeden, co jest niemożliwe.

Uwaga
Granica funkcji w nieskończoności jest uogólnieniem pojęcia granicy ciągu, dlatego też wiele własności wyprowadzonych dla granic ciągów stosuje się do granicy funkcji w nieskończoności, co implikuje poniższe:

Twierdzenie (Granice specjalne)

1. $\lim_{x\to \infty}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}=e$

2. $\lim_{x\to \infty}{a^{\frac{1}{x}}}=1$ , dla $a > 0$

3. $\lim_{x\to \infty}{x^{\frac{1}{x}}}=1$

Granica niewłaściwa w punkcie

Definicja (Granica niewłaściwa $+\infty$ funkcji w punkcie)
Mówimy, że funkcja $f\colon D_f\to \mathbb{R}$ ma granicę niewłaściwą $+\infty$ w punkcie $x_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{x_n\in \mathcal{S}(x_0)\cap D_f}\ \left(\lim_{n\to \infty}{x_n}=x_0 \Rightarrow \lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=+\infty\right)$ .

Oznaczenie
Zapisujemy wtedy $\lim_{x\to x_0}{f(x)} = +\infty$ .

Definicja (Granica niewłaściwa $-\infty$ funkcji w punkcie)
Mówimy, że funkcja $f\colon D_f\to \mathbb{R}$ ma granicę niewłaściwą $-\infty$ w punkcie $x_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{x_n\in \mathcal{S}(x_0)\cap D_f}\ \left(\lim_{n\to \infty}{x_n}=x_0 \Rightarrow \lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=-\infty\right)$ .

Oznaczenie
Zapisujemy wtedy $\lim_{x\to x_0}{f(x)} = -\infty$ .

Rysunek przedstawia wykres funkcji określonej w sąsiedztwie liczby 10 oraz metodę wyznaczania granicy niewłaściwej funkcji w punkcie $x_0=10$ korzystając z definicji Heinego. Na osi odciętych wybieramy ciąg zbieżny do $x_0=10$ (niebieski), wyznaczamy odpowiadające im punkty na wykresie funkcji (czerwone), a następnie rzutujemy je prostopadle na oś rzędnych otrzymując wartości funkcji dla argumentów będących wyrazami wyjściowego ciągu (zielone). Badamy zachowanie się ciągu wartości i jeżeli jest to ciąg rozbieżny do $+\infty$ , to funkcja ma granicę niewłaściwą $+\infty$ w punkcie $x_0=10$ , co zachodzi w przypadku badanej funkcji.

Granica niewłaściwa w nieskończoności

Definicja (Granica niewłaściwa $+\infty$ funkcji w plus nieskończoności)
Mówimy, że funkcja $f\colon (a,+\infty)\to \mathbb{R}$ ma granicę $+\infty$ w $+\infty$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{x_n\in D_f}\ \left(\lim_{n\to \infty}{x_n}=+\infty \Rightarrow \lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=+\infty\right)$ .

Oznaczenie
Zapisujemy wtedy $\lim_{x\to +\infty}{f(x)} = +\infty$ .

Definicja (Granica niewłaściwa $-\infty$ funkcji w plus nieskończoności)
Mówimy, że funkcja $f\colon (a,+\infty)\to \mathbb{R}$ ma granicę $-\infty$ w $+\infty$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{x_n\in D_f}\ \left(\lim_{n\to \infty}{x_n}=+\infty \Rightarrow \lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=-\infty\right)$ .

Oznaczenie
Zapisujemy wtedy $\lim_{x\to +\infty}{f(x)} = -\infty$ .

Definicja (Granica niewłaściwa $+\infty$ funkcji w minus nieskończoności)
Mówimy, że funkcja $f\colon (-\infty, b)\to \mathbb{R}$ ma granicę $+\infty$ w $-\infty$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{x_n\in D_f}\ \left(\lim_{n\to \infty}{x_n}=-\infty \Rightarrow \lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=+\infty\right)$ .

Oznaczenie
Zapisujemy wtedy $\lim_{x\to -\infty}{f(x)} = +\infty$ .

Definicja (Granica niewłaściwa $-\infty$ funkcji w minus nieskończoności)
Mówimy, że funkcja $f\colon (-\infty, b)\to \mathbb{R}$ ma granicę $-\infty$ w $-\infty$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{x_n\in D_f}\ \left(\lim_{n\to \infty}{x_n}=-\infty \Rightarrow \lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=-\infty\right)$ .

Oznaczenie
Zapisujemy wtedy $\lim_{x\to -\infty}{f(x)} = -\infty$ .

Rysunek przedstawia wykres funkcji określonej w całym zbiorze liczb rzeczywistych oraz metodę wyznaczania granicy niewłaściwej funkcji w nieskończoności, korzystając z definicji Heinego. Na osi odciętych wybieramy ciąg rozbieżny do $+\infty$ (niebieski), wyznaczamy odpowiadające im punkty na wykresie funkcji (czerwone), a następnie rzutujemy je prostopadle na oś rzędnych otrzymując wartości funkcji dla argumentów będących wyrazami wyjściowego ciągu (zielone). Badamy zachowanie się ciągu wartości i jeżeli jest to ciąg rozbieżny do $+\infty$ , to funkcja ma granicę niewłaściwą w nieskończoności +\infty, co zachodzi w przypadku badanej funkcji.

Granice jednostronne

Definicja (Otoczenie lewostronne i sąsiedztwo lewostronne punktu)
Otoczeniem lewostronnym punktu $x_0\in \mathbb{R}$ nazywamy dowolny przedział postaci $(a,x_0]$ lub $(x_0-\varepsilon,x_0]$ , a sąsiedztwem punktu $x_0\in \mathbb{R}$ nazywamy dowolny przedział otwarty postaci $(a,x_0)$ lub $(x_0-\varepsilon,x_0)$ .

Oznaczenie
Otoczenie lewostronne punktu $x_0\in \mathbb{R}$ oznaczamy symbolicznie $\mathcal{O}_{-}(x_0)$ , a sąsiedztwo lewostronne punktu $x_0\in \mathbb{R}$ oznaczamy przez $\mathcal{S}_{-}(x_0)=\mathcal{O}_{-}(x_0)\setminus \{x_0\}$ .

Definicja (Otoczenie prawostronne i sąsiedztwo prawostronne punktu)
Otoczeniem prawostronnym punktu $x_0\in \mathbb{R}$ nazywamy dowolny przedział postaci $[x_0,b)$ lub $[x_0,x_0+\varepsilon)$ , a sąsiedztwem punktu $x_0\in \mathbb{R}$ nazywamy dowolny przedział otwarty postaci $(x_0,b)$ lub $(x_0,x_0+\varepsilon)$ .

Oznaczenie
Otoczenie prawostronne punktu $x_0\in \mathbb{R}$ oznaczamy symbolicznie $\mathcal{O}_{+}(x_0)$ , a sąsiedztwo prawostronne punktu $x_0\in \mathbb{R}$ oznaczamy przez $\mathcal{S}_{+}(x_0)=\mathcal{O}_{+}(x_0)\setminus \{x_0\}$ .

Lewostronna granica właściwa w punkcie według Cauchy'ego i Heinego

Definicja (Definicja Cauchy'ego lewostronnej granicy właściwej funkcji w punkcie)
Mówimy, że funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ lewostronną granicę równą $g$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{\epsilon > 0}\exists_{\delta > 0}\forall_{x\in \mathcal{S}_{-}(x_0)\cap D_f}$ zachodzi implikacja $\left(x_{0}-\delta < x < x_{0}\right) \Rightarrow \left(g-\epsilon < f(x) < g+\epsilon\right)$ .

Oznaczenie
Zapisujemy wtedy $\lim_{x\to x_0^{-}}{f(x)} = g$ .

Definicja (Definicja Cauchy'ego prawostronnej granicy właściwej funkcji w punkcie)
Mówimy, że funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ prawostronną granicę równą $g$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{\epsilon > 0}\exists_{\delta > 0}\forall_{x\in \mathcal{S}_{+}(x_0)\cap D_f}$ zachodzi implikacja $\left(x_{0} < x < x_{0}+\delta\right) \Rightarrow \left(g-\epsilon < f(x) < g+\epsilon\right)$ .

Oznaczenie
Zapisujemy wtedy $\lim_{x\to x_0^{+}}{f(x)} = g$ .

Rysunek przedstawia interpretację graficzną granicy lewostronnej (według Cauchy'ego). Widać, że aby wartości funkcji kształtowały się na poziomie $g$ , należy do punktu $x_0$ zbliżać się od jego lewej strony. Warto podkreślić, że nie ma żadnego znaczenia ile wynosi wartość funkcji w punkcie $x_0$ - na tym rysunku wartość $f(x_0)$ jest większa niż $g$ (punkt zamalowany), choć granica lewostronna wynosi $g$ (punkt pusty).

Rysunek przedstawia interpretację graficzną granicy prawostronnej (według Cauchy'ego). Widać, że aby wartości funkcji kształtowały się na poziomie $g$ , należy do punktu $x_0$ zbliżać się od jego prawej strony.

Definicja (Definicja Heinego lewostronnej granicy właściwej funkcji w punkcie)
Mówimy, że funkcja $f\colon D_f\to \mathbb{R}$ ma lewostronną granicę właściwą $g$ w punkcie $x_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{x_n\in \mathcal{S}_{-}(x_0)\cap D_f}\ \left(\lim_{n\to \infty}{x_n}=x_0\Rightarrow \lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=g\right)$ .

Oznaczenie
Zapisujemy oczywiście $\lim_{x\to x_0^{-}}{f(x)} = g$ .

Definicja (Definicja Heinego prawostronnej granicy właściwej funkcji w punkcie)
Mówimy, że funkcja $f\colon D_f\to \mathbb{R}$ ma prawostronną granicę właściwą $g$ w punkcie $x_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{x_n\in \mathcal{S}_{+}(x_0)\cap D_f}\ \left(\lim_{n\to \infty}{x_n}=x_0\Rightarrow \lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=g\right)$ .

Oznaczenie
Zapisujemy oczywiście $\lim_{x\to x_0^{+}}{f(x)} = g$ .

Rysunek przedstawia interpretację graficzną granicy lewostronnej (według Heinego). Widać, że aby wartości funkcji kształtowały się na poziomie $g$ , należy do punktu $x_0$ zbliżać się ciągowo od jego lewej strony.

Rysunek przedstawia interpretację graficzną granicy prawostronnej (według Heinego). Widać, że aby wartości funkcji kształtowały się na poziomie $g$ , należy do punktu $x_0$ zbliżać się ciągowo od jego prawej strony.

Jednostronna granica niewłaściwa w punkcie

Definicja (Lewostronna granica niewłaściwa $+\infty$ funkcji w punkcie)
Mówimy, że funkcja $f\colon D_f\to \mathbb{R}$ ma lewostronną granicę niewłaściwą $+\infty$ w punkcie $x_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{x_n\in \mathcal{S}_{-}(x_0)\cap D_f}\ \left(\lim_{n\to \infty}{x_n}=x_0 \Rightarrow \lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=+\infty\right)$ .

Oznaczenie
Zapisujemy $\lim_{x\to x_0^{-}}{f(x)} = +\infty$ .

Definicja (Lewostronna granica niewłaściwa $-\infty$ funkcji w punkcie)
Mówimy, że funkcja $f\colon D_f\to \mathbb{R}$ ma lewostronną granicę niewłaściwą $-\infty$ w punkcie $x_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{x_n\in \mathcal{S}_{-}(x_0)\cap D_f}\ \left(\lim_{n\to \infty}{x_n}=x_0 \Rightarrow \lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=-\infty\right)$ .

Oznaczenie
Zapisujemy $\lim_{x\to x_0^{-}}{f(x)} = -\infty$ .

Definicja (Prawostronna granica niewłaściwa $+\infty$ funkcji w punkcie)
Mówimy, że funkcja $f\colon D_f\to \mathbb{R}$ ma prawostronną granicę niewłaściwą $+\infty$ w punkcie $x_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{x_n\in \mathcal{S}_{+}(x_0)\cap D_f}\ \left(\lim_{n\to \infty}{x_n}=x_0 \Rightarrow \lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=+\infty\right)$ .

Oznaczenie
Zapisujemy $\lim_{x\to x_0^{+}}{f(x)} = +\infty$ .

Definicja (Prawostronna granica niewłaściwa $-\infty$ funkcji w punkcie)
Mówimy, że funkcja $f\colon D_f\to \mathbb{R}$ ma prawostronną granicę niewłaściwą $-\infty$ w punkcie $x_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{x_n\in \mathcal{S}_{+}(x_0)\cap D_f}\ \left(\lim_{n\to \infty}{x_n}=x_0 \Rightarrow \lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=-\infty\right)$ .

Oznaczenie
Zapisujemy $\lim_{x\to x_0^{+}}{f(x)} = -\infty$ .

Rysunek przedstawia interpretację graficzną lewostronnej granicy niewłaściwej $-\infty$ w punkcie $x_0=2$ . Widać, że zbliżając się do punktu $x_0$ od jego lewej strony, wartości funkcji "nurkują" do minus nieskończoności.

Rysunek przedstawia interpretację graficzną prawostronnej granicy niewłaściwej $+\infty$ w punkcie $x_0=0$ . Widać, że na prawo od punktu $x_0$ wykres funkcji "wzbija się prawie pionowo" w górę do plus nieskończoności.

Twierdzenie (Warunek konieczny i wystarczający (WKW) istnienia właściwej granicy funkcji w punkcie)
Funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ granicę właściwą równą $g$ wtedy i tylko wtedy, gdy obydwie granice jednostronne w punkcie $x_0$ istnieją i równe są $g$ . Można to zapisać następująco: $\lim_{x\to x_0}{f(x)}=g \iff \left(\lim_{x\to x_0^+}{f(x)}=g=\lim_{x\to x_0^-}{f(x)}\right)$ .

Komentarz
Można sobie wyobrazić, że lewa i prawa gałąź wyresu funkcji się "ładnie schodzą" na tym samym poziomie, poza ewentualnie punktem $x_{0}$ , w którym funkcja $f$ może mieć dowolną wartość i nie wpływa to na istnienie granicy.

Symbole oznaczone i nieoznaczone

Definicja (Symbol oznaczony)
Symbolem oznaczonym nazywamy wyrażenie algebraiczne, które jest umownym zapisem działań wykonywanych na granicach i które daje zawsze taki sam wynik niezależny od rozpatrywanej funkcji, w granicy której otrzymuje się dany symbol graniczny.

Definicja (Symbol nieoznaczony)
Symbolem nieoznaczonym nazywamy wyrażenie algebraiczne, które jest umownym zapisem działań wykonywanych na granicach i którego wartości nie da się jednoznacznie obliczyć na podstawie jedynie granic funkcji składowych, z których powstaje symbol graniczny i wynik zależy od konkretnej funkcji, jaką rozpatrujemy.

W poniższym twierdzeniu $[0^+]$ oznacza granicę funkcji o wartościach dodatnich, która wynosi zero, a symbol $[0^-]$ granicę funkcji o wartościach ujemnych, która wynosi zero.

Twierdzenie (O symbolach oznaczonych)
Niech $a$ będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Symbolami oznaczonymi są

$[\pm\infty+a]=\pm \infty$

$[a\cdot (\pm \infty)]=\left\{{\pm \infty,\textrm{ dla }a > 0}\atop {\mp \infty,\textrm{ dla } a < 0}\right.$

$[\pm \infty \cdot (\pm \infty)]=+ \infty$

$[\pm \infty \cdot (\mp \infty)]=-\infty$

$\left[\frac{a}{\pm \infty}\right]=0$

$\left[\frac{a}{0^{\pm}}\right]=\left\{{\pm \infty,\textrm{ dla }a > 0}\atop {\mp \infty,\textrm{ dla } a < 0}\right.$

$\left[\infty ^a\right]=\left\{{\pm \infty,\textrm{ dla }a > 0}\atop {0,\textrm{ dla } a < 0}\right.$

$\left[\infty^{\infty}\right]=\infty$

Przykład
Obliczmy granicę $\lim_{x\to \infty}{\frac{x+1}{x^2+1}}$ .
Rozwiązanie: Mamy $\lim_{x\to \infty}{\frac{x+1}{x^2+1}}$ $=\lim_{x\to \infty}{\frac{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}}$ $=\lim_{x\to \infty}{\frac{1}{x} \cdot \frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)}{\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}}$ $=\left[\frac{1}{\infty}\cdot \frac{1+\frac{1}{\infty}}{1+\frac{1}{\infty}}\right]$ $=\left[0\cdot \frac{1+0}{1+0}\right]=0$ .

Przykład
Obliczmy granicę $\lim_{x\to \infty}{\frac{2^{2x}+x^x}{4^{x-1}}}$ .
Rozwiązanie: Mamy $\lim_{x\to \infty}{\frac{2^{2x}+x^x}{4^{x-1}}}$ $=\lim_{x\to \infty}{\left(\frac{4^x}{4^x\cdot \frac{1}{4}}+\frac{x^x}{4^x\cdot \frac{1}{4}}\right)}$ $=\lim_{x\to \infty}{\left(4+4\cdot \left(\frac{x}{4}\right)^x\right)}$ $=\left[4+4\cdot \left(\frac{\infty}{4}\right)^{\infty}\right]$ $=[4+\infty]$ $=\infty$ .

Przykład
Obliczmy granicę $\lim_{x\to -\frac{\pi}{2}}{\frac{x}{\cos^2{x}}}$ .
Rozwiązanie: Zauważmy, że $\cos^2{x}\geq 0$ , czyli dla $x$ zmierzających do $-\frac{\pi}{2}$ wartości funkcji $\cos^2{x}$ zmierzają do granicy $0$ po wartościach dodatnich, co zapisujemy $\lim_{x\to -\frac{\pi}{2}}{\cos^2{x}}=0^+$ . Obliczamy granicę $\lim_{x\to -\frac{\pi}{2}}{\frac{x}{\cos^2{x}}}$ $=\left[\frac{-\frac{\pi}{2}}{0^+}\right]$ $=-\infty$ .

Twierdzenie (O symbolach nieoznaczonych)
Jest siedem symboli nieoznaczonych. Są nimi: $\left[\infty-\infty\right]$ , $\left[\frac{0}{0}\right]$ , $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ , $\left[0\cdot \infty\right]$ , $\left[\infty ^0\right]$ , $\left[0^0\right]$ , $\left[1^{\infty}\right]$ .

Przykład
Pokażmy, że symbol $\left[\frac{0}{0}\right]$ jest nieoznaczony.
Rozwiązanie:

Z jednej strony $\lim_{x\to 1}{\frac{x-1}{x^2-1}}$ $=\left[\frac{0}{0}\right]$ $=\lim_{x\to 1}{\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}}$ $=\lim_{x\to 1}{\frac{1}{x+1}}$ $=\frac{1}{2}$ .

Z drugiej strony $\lim_{x\to 1}{\frac{x-1}{x^3-1}}$ $=\left[\frac{0}{0}\right]$ $=\lim_{x\to 1}{\frac{x-1}{(x-1)(x^2+x+1)}}$ $=\lim_{x\to 1}{\frac{1}{x^2+x+1}}$ $=\frac{1}{3}$ .

Widać zatem, że symbol $\left[\frac{0}{0}\right]$ może przyjmować różne wartości, w zależności od rozpatrywanych funkcji.

Przykład
Pokażmy, że symbol $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ jest nieoznaczony.
Rozwiązanie:

Z jednej strony $\lim_{x\to \infty}{\frac{x^2-2}{x^3-3}}$ $=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ $=\lim_{x\to \infty}{\frac{x^2\left(1-\frac{2}{x^2}\right)}{x^3\left(1-\frac{3}{x^3}\right)}}$ $=\lim_{x\to \infty}{\frac{1}{x}\cdot \frac{\left(1-\frac{2}{x^2}\right)}{\left(1-\frac{3}{x^3}\right)}}$ $=\left[\frac{1}{\infty}\cdot \frac{1-\frac{1}{\infty}}{1-\frac{1}{\infty}}\right]$ $=0$ .

Z drugiej strony $\lim_{x\to \infty}{\frac{x^3-3}{x^2-2}}$ $=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ $=\lim_{x\to \infty}{\frac{x^3\left(1-\frac{3}{x^3}\right)}{x^2\left(1-\frac{2}{x^2}\right)}}$ $=\lim_{x\to \infty}{x\cdot \frac{\left(1-\frac{3}{x^3}\right)}{\left(1-\frac{2}{x^2}\right)}}$ $=\left[\infty\cdot \frac{1-\frac{1}{\infty}}{1-\frac{1}{\infty}}\right]$ $=\infty$ .

Widać zatem, że symbol $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ może przyjmować różne wartości, w zależności od rozpatrywanych funkcji.

Przykład
Pokażmy, że symbol $\left[1^{\infty}\right]$ jest nieoznaczony.
Rozwiązanie:

Z jednej strony $\lim_{x\to \infty}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x}}$ $=\left[1^{\infty}\right]$ $=\lim_{x\to \infty}{\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right]^2}$ $=e^2$ .

Z drugiej strony $\lim_{x\to \infty}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3x}}$ $=\left[1^{\infty}\right]$ $=\lim_{x\to \infty}{\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right]^3}$ $=e^3$ .

Widać zatem, że symbol $\left[1^{\infty}\right]$ może przyjmować różne wartości, w zależności od rozpatrywanych funkcji.

Uwaga
Twierdzenia o symbolach oznaczonych i nieoznaczonych stosują się też do granic jednostronnych.

Przykład
Zbadajmy istnienie granicy $\lim_{x\to -1}{\frac{1}{x+1}}$ , badając granice jednostronne.
Rozwiazanie: Mamy

$\lim_{x\to (-1)^-}{\frac{1}{x+1}}=\left[\frac{1}{0^-}\right]=-\infty$

$\lim_{x\to (-1)^+}{\frac{1}{x+1}}=\left[\frac{1}{0^+}\right]=+\infty$ .
Ponieważ granice jednostronne są różne, to badana funkcja nie ma granicy w punkcie $-1$ .

Przykład
Obliczmy granice jednostronne funkcji $2^{\frac{1}{2-x}}$ w punkcie $x_0=2$ .
Rozwiązanie: Korzystamy z wykresu funkcji wykładniczej $y=2^x$ , z którego widać, że $\lim_{x\to +\infty}{2^x}$ $=\left[ 2^{+\infty} \right]=+\infty$ i $\lim_{x\to -\infty}{2^x}$ $=\left[ 2^{-\infty} \right]=0$ . Mamy zatem

$\lim_{x\to 2^-}{2^{\frac{1}{2-x}}}$ $=\left[ 2^{\frac{1}{0^{+}}} \right]$ $=\left[ 2^{+\infty} \right]$ $=+\infty$

$\lim_{x\to 2^+}{2^{\frac{1}{2-x}}}$ $=\left[ 2^{\frac{1}{0^{-}}} \right]$ $=\left[2^{-\infty}\right]$ $=0$ .

Działania arytmetyczne na granicach funkcji

Twierdzenie (O działaniach arytmetycznych na granicach funkcji)
Zachodzą równości:

$\lim_{x \to x_0} (f+g)(x)=\lim_{x \to x_0} f(x)+\lim_{x \to x_0} g(x)$ (granica sumy funkcji, to suma granic)

$\lim_{x \to x_0} (f-g)(x)=\lim_{x \to x_0} f(x)-\lim_{x \to x_0} g(x)$ (granica różnicy funkcji, to różnica granic)

$\lim_{x \to x_0} c\cdot f(x)=c\cdot \lim_{x \to x_0} f(x)$ (stałe można wyłączać przez symbol granicy)

$\lim_{x \to x_0} (f \cdot g)(x)=\lim_{x \to x_0} f(x)\cdot\lim_{x \to x_0} g(x)$ (granica iloczynu funkcji, to iloczyn granic)

$\lim_{x \to x_0} \frac{f}{g}(x)=\frac{\lim_{x \to x_0} f(x)}{\lim_{x \to x_0} g(x)} \textrm{, je\'sli } \lim_{x \to x_0} g(x) \neq 0$ (granica ilorazu funkcji, to iloraz granic)

Komentarz
Powyższe twierdzenie pozwala zadanie policzenia granicy jednej "dużej" funkcji rozbić na wiele "małych" granic.

Uwaga
Twierdzenie o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji stosuje się również do granic jednostronnych w punkcie oraz granic w nieskończoności.

Przykład
Obliczmy granicę $\lim_{x\to 2} \frac{3 \operatorname{tg} \frac{\pi}{2x}-4 \sin \frac{\pi}{3x}}{x^2-x}$ .
Rozwiązanie: Mamy $\lim_{x\to 2} \frac{3 \operatorname{tg} \frac{\pi}{2x}-4 \sin \frac{\pi}{3x}}{x^2-x}$ $=\frac{\lim_{x\to 2} (3 \operatorname{tg} \frac{\pi}{2x}-4 \sin \frac{\pi}{3x})}{\lim_{x\to 2} (x^2-x)}$ $=\frac{\lim_{x\to 2} (3 \operatorname{tg} \frac{\pi}{2x})-\lim_{x\to 2} (4 \sin \frac{\pi}{3x})}{\lim_{x\to 2} (x^2)-\lim_{x\to 2} (x)}$ $=\frac{3 \lim_{x\to 2} (\operatorname{tg} \frac{\pi}{2x})-4 \lim_{x\to 2} (\sin \frac{\pi}{3x})}{\lim_{x\to 2} (x^2)-\lim_{x\to 2} (x)}$ $=[\frac{3\cdot 1-4\cdot \frac{1}{2}}{2^2-2}]$ $=\frac{1}{2}$ .

Uwaga
Rozpisanie w powyższym przykładzie jest aż nadto dokładne. W praktyce zapisuje się po prostu $\lim_{x\to 2} \frac{3 \operatorname{tg} \frac{\pi}{2x}-4 \sin \frac{\pi}{3x}}{x^2-x}$ $=[\frac{3\cdot 1-4\cdot \frac{1}{2}}{2^2-2}]$ $=\frac{1}{2}$ , inaczej mówiąc twierdzenie o działaniach arytmetycznych stosuje się "w tle".

Twierdzenie o dwóch funkcjach i twierdzenie o trzech funkcjach

Twierdzenie (O dwóch funkcjach (twierdzenie porównawcze))
Jeżeli dla wszystkich $x$ z pewnego sąsiedztwa $\mathcal{S}(x_0)$ zachodzi nierówność $f(x) < g(x)$ oraz istnieją granice $\lim_{x \to x_0} f(x)$ i $\lim_{x \to x_0} g(x)$ , to $\lim_{x \to x_0} f(x) \leq \lim_{x \to x_0} g(x)$ .

Uwaga
Twierdzenie o dwóch funkcjach zachodzi również dla granic jednostronnych, a także dla granic w nieskończonościach.

Przykład
Obliczmy granicę $\lim_{x \to 1^- }e^{ \frac{1}{1-x} } (2+\cos x)$ .
Rozwiązanie: Ponieważ funkcja $\cos x$ nie ma granicy w $+\infty$ , więc nie możemy stosować twierdzenia o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji. Musimy "pozbyć się" $\cos x$ stosując twierdzenie o dwóch funkcjach.
Mamy $e^{\frac{1}{1-x}} (2+\cos x) \underset{ \textrm{dla }x \in \mathbb{R}}{\geq} e^{\frac{1}{1-x}} (2-1)$ . Zatem na mocy twierdzenia o dwóch funkcjach
$\lim_{x \to 1^- }e^{\frac{1}{1-x}} (2+\cos x)$ $\geq \lim_{x \to 1^- } e^{\frac{1}{1-x}} (2-1)$ $=\left[e^{\frac{1}{0^{+}}}\cdot 1\right]$ $=\left[e^{+\infty}\right]$ $=+\infty$ , zatem szukana przez nas granica wynosi $\lim_{x \to 1^- }e^{\frac{1}{1-x}} (2+\cos x) = +\infty$ .

Twierdzenie (O trzech funkcjach)
Jeżeli dla wszystkich $x$ z pewnego sąsiedztwa $\mathcal{S}(x_0)$ zachodzą nierówności $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ oraz $\lim_{x \to x_0} f(x)=\lim_{x \to x_0} h(x)=a$ , to istnieje granica $\lim_{x \to x_0} g(x)=a$ .

Uwaga
Twierdzenie o trzech funkcjach zachodzi również dla granic jednostronnych, a także dla granic w nieskończonościach.

Komentarz
Żartobliwie nazywa się twierdzenie o trzech funkcjach "twierdzeniem o mnie i dwóch policjantach": jeśli dwóch policjantów idzie na komisariat i ja idę między nimi, to ja też idę na komisariat.

Komentarz
Intiucję dotyczącą twierdzenia o trzech funkcjach już sobie wypracowaliśmy przy okazji omawiania twierdzenia o trzech ciągach.

Przykład
Obliczmy granicę $\lim_{x \to - \infty }\frac{3^x-\sin x }{2^x+\cos x }$ .
Rozwiązanie: Ponieważ dla $x \to - \infty$ funkcje $\sin x$ oraz $\cos x$ nie mają granic, zastosujemy twierdzenie o trzech funkcjach, aby się ich pozbyć. Wartości funkcji sinus i cosinus będziemy z dołu i z góry szacować przez $-1$ i $1$ . Możemy zatem zapisać oszacowania:
$\frac{3^x-1}{2^x+1} \underset{\textrm{dla }x \in\mathbb{R}}{\leq} \frac{3^x-\sin x}{2^x+\cos x} \underset{\textrm{dla }x \in\mathbb{R}}{\leq} \frac{3^x+1}{2^x-1}$ .
Wiemy z wykresu, że funkcja wykładnicza $(\frac{3}{2})^x$ ma w $-\infty$ granicę równą $0$ .
Obliczamy granice górnego i dolnego oszacowania:
$\lim_{x \to - \infty} \frac{3^x-1}{2^x+1}=\lim_{x \to - \infty} (\frac{3}{2})^x \frac{1-(\frac{1}{3})^x}{1+(\frac{1}{2})^x} =[0 \cdot \frac{1-0}{1+0}]=0$ oraz
$\lim_{x \to - \infty} \frac{3^x+1}{2^x-1}=\lim_{x \to - \infty} (\frac{3}{2})^x \frac{1+(\frac{1}{3})^x}{1-(\frac{1}{2})^x}=[0 \cdot \frac{1+0}{1-0}]=0$ .
Z tego otrzymujemy $\lim_{x \to - \infty }\frac{3^x-\sin x }{2^x+\cos x }=0$ .

Granice specjalne

Twierdzenie (O granicach pewnych funkcji specjalnych)
Zachodzą następujące równości:

$\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e$

$\lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x}=\ln a$ dla $a>0$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$

$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} x}{x}=1$

$\lim_{x \to 0} \frac{ \arcsin x}{x}=1$

$\lim_{x \to 0} \frac{ \operatorname{arctg} x}{x}=1$

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(x+1)}{x}=1$

Wniosek
Zachodzą także:

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x}=1$

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\operatorname{tg} x}=1$

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{ \arcsin x}=1$

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{ \operatorname{arctg} x}=1$

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\ln(x+1)}=1$

Rysunek pokazuje jak można wywnioskować, że $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$ . Zauważmy, że $y=\sin x$ oraz $y=x$ nie tylko się przecinają, ale idealnie się "stykają" w punkcie $x=0$ (po wielokrotnym powiększeniu okolicy punktu $(0,0)$ nie bylibyśmy w stanie rozróżnić tych wykresów). Daje nam to informację, że dla $x\approx 0$ zachodzi $\sin x\approx x$ , a zatem $\frac{\sin x}{x}\approx 1$ . Z tego otrzymujemy, że $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$ . Podobnie postępuje się dla pozostałych granic specjalnych, wymienionych powyżej.

Uwaga
Powyższe granice specjalne najwygodniej zapamiętać, zastępując $x$ symbolem $\square$ . Granice się nie zmienią, jeśli we wszystkie wystąpienia $\square$ wpiszemy to samo, np. $x^{2}$ .

$\lim_{\square \to 0} (1+\square)^{\frac{1}{\square}}=e$

$\lim_{\square \to 0} \frac{a^\square-1}{\square}=\ln a$ dla $a>0$

$\lim_{\square \to 0} \frac{\sin \square}{\square}=1$

$\lim_{\square \to 0} \frac{\operatorname{tg} \square}{\square}=1$

$\lim_{\square \to 0} \frac{ \arcsin \square}{\square}=1$

$\lim_{\square \to 0} \frac{ \operatorname{arctg} \square}{\square}=1$

$\lim_{\square \to 0} \frac{\ln(\square+1)}{\square}=1$ .

Przykład
Obliczmy $\lim_{x \to 0}(1+\sin x)^{2 \operatorname{ctg} x}$ .
Rozwiązanie: Mamy $\lim_{x \to 0}(1+\sin x)^{2 \operatorname{ctg} x}$ $=[1^{\infty}]$ $= \lim_{x \to 0}(1+\sin x)^{ \frac{2 \cos x}{\sin x}}$ $= \lim_{x \to 0} [(1+\sin x)^{\frac{1}{\sin x}} ]^{2 \cos x}$ $=e^{2}$ , bo dostrzegliśmy w nawiasie kwadratowym formułę $\lim_{\square \to 0} (1+\square)^{\frac{1}{\square}} = e$ , zaś wykładnik $\lim_{x \to 0} 2 \cos x$ $= \left[2\cdot \cos(0)\right]$ $= \left[2\cdot 1\right] = 2$ .

Przykład
Obliczmy $\lim_{x \to 1} \frac{2^{x-1}-1}{3^x-3}$ .
Rozwiązanie: Mamy $\lim_{x \to 1}\frac{2^{x-1}-1}{3^x-3}$ $=[\frac{0}{0}]$ $=\lim_{x \to 1} \frac{2^{x-1}-1}{3(3^{x-1}-1)}$ $=\lim_{x \to 1} \frac{1}{3} \cdot \frac{2^{x-1}-1}{3^{x-1}-1}$ $=\lim_{x-1 \to 0} \frac{1}{3} \cdot \frac{2^{x-1}-1}{3^{x-1}-1}$ $=\lim_{x-1 \to 0} \frac{1}{3} \cdot \frac{2^{x-1}-1}{x-1}\cdot\frac{x-1}{3^{x-1}-1}$ $=\frac{1}{3} \cdot \lim_{x-1 \to 0} \frac{2^{x-1}-1}{x-1}\cdot \lim_{x-1 \to 0}\frac{x-1}{3^{x-1}-1}$ $=\frac{1}{3} \cdot \lim_{\square \to 0} \frac{2^{\square}-1}{\square}\cdot\lim_{\square \to 0} \frac{\square}{3^{\square}-1}$ $=\frac{1}{3} \cdot \ln 2 \cdot \frac{1}{\ln 3}$ .

Przykład
Obliczmy $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} 3x}{2x}$ .
Rozwiązanie: Mamy $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} 3x}{2x}$ $=[\frac{0}{0}]$ $=\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} 3x}{3x} \cdot \frac{3}{2}$ $=\lim_{\square \to 0} \frac{\operatorname{tg} \square}{\square} \cdot \frac{3}{2}$ $=\left[1\cdot \frac{3}{2}\right]$ $=\frac{3}{2}$ .

Przykład
Obliczmy $\lim_{x \to 0}\frac{\arcsin 4x}{\sin 2x}$ .
Rozwiązanie: Mamy $\lim_{x \to 0}\frac{\arcsin 4x}{\sin 2x}$ $=[\frac{0}{0}]$ $=\lim_{x \to 0}\frac{\arcsin 4x}{4x} \cdot \frac{2x}{\sin 2x} \cdot \frac{4}{2}$ $=\frac{4}{2} \cdot \lim_{x \to 0}\frac{\arcsin 4x}{4x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sin 2x}$ $=\frac{4}{2} \cdot \lim_{\square \to 0}\frac{\arcsin \square}{\square} \cdot \lim_{\square \to 0} \frac{\square}{\sin \square}$ $=\left[\frac{4}{2}\cdot 1\cdot 1\right]$ $=2$ .

Przykłady obliczania granic funkcji

Przykład
Obliczmy $\lim_{x \to 2} \frac{x^3-8}{x-2}$ .
Rozwiązanie: Mamy $\lim_{x \to 2} \frac{x^3-8}{x-2}$ $=\left[\frac{0}{0}\right]$ $=\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}$ $=\lim_{x \to 2} (x^2+2x+4)=12$ .

Przykład
Obliczmy $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$ .
Rozwiązanie: W ramach przypomnienia $a^{2}-b^{2}=(a-b)\cdot(a+b)$ .
Mamy $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$ $=\left[\frac{0}{0}\right]$ $=\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} \cdot \frac{\sqrt{x+3}+2}{\sqrt{x+3}+2}$ $=\lim_{x \to 1} \frac{x+3-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}$ $=\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}$ $=\frac{1}{4}$ .

Przykład
Obliczmy $\lim_{x \to 64}\frac{\sqrt{x}-8}{\sqrt[3]{x}-4}$ .
Rozwiązanie: W ramach przypomnienia $a^{3}-b^{3}=(a-b)\cdot(a^{2}+ab+b^{2})$ .
Mamy $\lim_{x \to 64}\frac{\sqrt{x}-8}{\sqrt[3]{x}-4}$ $=\left[\frac{0}{0}\right]$ $=\lim_{x \to 64}\left[(\sqrt{x}-8)\cdot \frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+8}\right]\cdot\left[\frac{1}{\sqrt[3]{x}-4} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}^2+4\sqrt[3]{x}+16}{\sqrt[3]{x}^2+4\sqrt[3]{x}+16}\right]$ $= \lim_{x \to 64} \frac{x-64}{\sqrt{x}+8} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}^2+4 \sqrt[3]{x}+16}{x-64}$ $= \lim_{x \to 64} \frac{\sqrt[3]{x}^2+4 \sqrt[3]{x}+16}{\sqrt{x}+8}$ $=\left[\frac{16+16+16}{8+8}\right]$ $=3$ .

Przykład
Obliczmy $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{1- \sin^3 x}{\cos x}$ .
Rozwiązanie: Mamy $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{1- \sin^3 x}{\cos x}$ $=\left[\frac{0}{0}\right]$ $=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{(1- \sin x)(1+ \sin x + \sin^2 x)}{\cos x}$ $=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{(1+\sin x)(1- \sin x)(1+ \sin x + \sin^2 x)}{(1+\sin x)\cos x}$ $=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(1- \sin^2 x)(1+\sin x+ \sin^2 x)}{(1+\sin x)\cos x}$ $=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{ \cos^2 x(1+\sin x+ \sin^2 x)}{(1+\sin x)\cos x}$ $= \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{ \cos x(1+\sin x+ \sin^2 x)}{1+\sin x}$ $=\left[\frac{0\cdot(1+1+1)}{1+1}\right]$ $= 0$ .

Przykład
Obliczmy $\lim_{x \to 0} e ^{\frac{3^x-1}{ \sin 2x} }$ .
Rozwiązanie: Mamy $\lim_{x \to 0} \frac{3^x-1}{ \sin 2x}$ $=\left[\frac{0}{0}\right]$ $=\lim_{x \to 0} \frac{3^x-1}{x} \cdot \frac{2x}{\sin 2x} \cdot \frac{1}{2}$ $=\frac{1}{2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{3^x-1}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sin 2x}$ $=\frac{1}{2} \cdot \lim_{\square \to 0} \frac{3^\square-1}{\square} \cdot \lim_{\square \to 0} \frac{\square}{\sin \square}$ $=\left[\frac{1}{2}\cdot \ln (3) \cdot 1\right]=\frac{\ln 3}{2}$ .
Ostatecznie $\lim_{x \to 0} e ^{\frac{3^x-1}{ \sin 2x} }$ $=e^{ \frac{\ln 3}{2}}$ $=\sqrt{3}$ .

Przykład
Obliczmy $\lim_{x \to 0^+} (\frac{ \operatorname{tg}^2 x}{2x})^{\frac{1}{x}}$ .
Rozwiązanie: Mamy $\lim_{x \to 0^+} (\frac{ \operatorname{tg}^2 x}{2x})^{\frac{1}{x}}$ $=\left[(\frac{0}{0})^\infty \right]$ $=\lim_{x \to 0^+} (\frac{ \operatorname{tg} x}{x} \cdot \frac{ \operatorname{tg} x}{2} )^{\frac{1}{x}}$ $=[(1 \cdot 0)^{\infty}]$ $=0$ .

Przykład
Obliczmy $\lim_{x \to 0} \frac{ \ln (5x+1)}{\sqrt{5^x}-1}$ .
Rozwiązanie: Mamy $\lim_{x \to 0} \frac{ \ln (5x+1)}{\sqrt{5^x}-1}$ $=\left[\frac{0}{0}\right]$ $= \lim_{x \to 0} \frac{ \ln (5x+1)}{5x} \cdot \frac{\frac{x}{2}}{5^{\frac{x}{2}}-1} \cdot 10$ $=\lim_{\square \to 0} \frac{ \ln (\square+1)}{\square} \cdot \lim_{\square \to 0} \frac{\square}{5^{\square}-1} \cdot 10$ $=[1 \cdot \frac{1}{\ln 5} \cdot 10]$ $=\frac{10}{\ln 5}$ .

Przykład
Obliczmy $\lim\limits_{x \to -2} \frac{1}{x+2}$ .
Rozwiązanie: Mamy $\lim\limits_{x \to -2} \frac{1}{x+2}$ $=\left[\frac{1}{0}\right]$ . Liczymy zatem granice jednostronne:
$\lim\limits_{x \to (-2)^-} \frac{1}{x+2}$ $=\left[\frac{1}{0^-}\right]$ $=-\infty$ ,
$\lim\limits_{x \to (-2)^+} \frac{1}{x+2}$ $=[\frac{1}{0^+}]$ $=+\infty$ .
Granice jednostronne nie są takie same, więc $\lim\limits_{x \to -2} \frac{1}{x+2}$ nie istnieje.

Asymptota pionowa wykresu funkcji

Poprzez $D_f$ rozumiemy dziedzinę naturalną funkcji $f$ .

Definicja (Asymptota pionowa lewostronna)
Niech funkcja $f$ będzie określona w lewostronnym sąsiedztwie ustalonego punktu $x_0 \not\in D_f$ . Prostą $x=x_0$ nazywamy asymptotą pionową lewostronną wykresu funkcji $y=f(x)$ , jeżeli granica lewostronna funkcji $f$ w punkcie $x_0$ jest niewłaściwa, mianowicie jeśli $\lim_{x\rightarrow x_0^-} f(x)=\pm\infty$ .

Definicja (Asymptota pionowa prawostronnna)
Niech funkcja $f$ będzie określona w prawostronnym sąsiedztwie ustalonego punktu $x_0 \not\in D_f$ . Prostą $x=x_0$ nazywamy asymptotą pionową prawostronnną wykresu funkcji $y=f(x)$ , jeżeli granica prawostronnna funkcji $f$ w punkcie $x_0$ jest niewłaściwa, mianowicie jeśli $\lim_{x\rightarrow x_0^+} f(x)=\pm\infty$ .

Definicja (Asymptota pionowa obustronna)
Jeżeli prosta $x=x_0$ jest jednocześnie asymptotą pionową lewo i prawostronną wykresu funkcji $f$ , to nazywamy ją asymptotą pionową obustronną.

Rysunek ilustruje pojęcie asymptoty pionowej. Czerwona pionowa prosta $x=x_{0}$ (w tym przypadku $x=1$ ) jest asymptotą pionową, gdy niebieski wykres funkcji $f$ się do niej "jak gdyby magnetycznie" zbliża. Inaczej mówiąc, gdy lekko na lewo lub prawo od punktu $x_{0}$ wartości funkcji "pikują" do nieskończoności lub "nurkują" do minus nieskończoności.

Uwaga
Kandydatów na asymptoty pionowe najczęściej szukamy na brzegu przedziałów określoności funkcji $f$ .

Przykład
Wyznaczmy asymptoty pionowe wykresu funkcji $f(x)= \frac{x-3}{\sqrt{x^2-9}}$ .
Rozwiązanie: Dziedzina funkcji $f$ to $(- \infty,-3)\cup(3,\infty)$ . Kandydatów na asymptotę pionową szukamy na brzegu przedziałów dziedziny, zatem jedynymi kandydatami na asymptotę pionową są $x=-3$ oraz $x=3$ , o ile któraś z poniższych granic okaże się równa $\pm\infty$ . Policzmy:
$\lim_{x \rightarrow -3^- }\frac{x-3}{\sqrt{x^2-9}}$ $= \left[ \frac{-6}{0^+} \right]$ $=- \infty$
oraz
$\lim_{x \rightarrow 3^+ }\frac{x-3}{\sqrt{x^2-9}}$ $=\left[ \frac{0}{0} \right]$ $= \lim_{x \rightarrow 3^+ } \frac{x-3}{\sqrt{(x-3)(x+3)}}$ $= \lim_{x \rightarrow 3^+ } \sqrt{\frac{x-3}{x+3}}$ $= \left[ \frac{0}{\sqrt{6}} \right] =0$ .

Wniosek: Granica lewostronna w punkcie -3 jest niewłaściwa, czyli prosta $x=-3$ jest asymptotą pionową lewostronną, a granica prawostronna w punkcie 3 jest właściwa, czyli prosta x=3 nie jest asymptotą pionową.

Uwaga
Wykres może mieć nieskończenie wiele asymptot pionowych, jak na przykład wykres funkcji tangens.

Asymptota ukośna wykresu funkcji

Zanim sformułujemy precyzyjniejszą definicję, zilustrujmy sobie co chcielibyśmy rozumieć poprzez asymptotę ukośną - taką prostą, do której wykres funkcji się "magnetycznie zbliża" wraz z $x$ zmierzającymi nieograniczenie w prawo lub nieograniczenie w lewo.

Definicja (Asymptota ukośna lewostronna)
Prosta $y=ax+b$ jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu funkcji $f$ , jeżeli dziedzina $f$ jest zbiorem nieograniczonym od dołu oraz granica różnicy wartości funkcji $y=f(x)$ i funkcji liniowej $y=ax+b$ w $-\infty$ jest równa zero, mianowicie gdy $\lim_{x \rightarrow -\infty} \left[ f(x)-(ax+b) \right] =0$ .

Definicja (Asymptota ukośna prawostronna)
Prosta $y=ax+b$ jest asymptotą ukośną prawostronną wykresu funkcji $f$ , jeżeli dziedzina $f$ jest zbiorem nieograniczonym od góry oraz granica różnicy wartości funkcji $y=f(x)$ i funkcji liniowej $y=ax+b$ w $+\infty$ jest równa zero, mianowicie gdy $\lim_{x \rightarrow +\infty} \left[ f(x)-(ax+b) \right] =0$ .

Definicja (Asymptota ukośna obustronna)
Jeżeli prosta $y=ax+b$ jest jednocześnie asymptotą ukośną lewo i prawostronną, to nazywamy ją asymptotą obustronną wykresu funkcji $f$ .

Definicja (Asymptota pozioma)
Jeżeli współczynnik kierunkowy asymptoty ukośnej $y=ax+b$ jest równy zero $(a=0)$ , to asymptotę ukośną $y=b$ nazywamy asymptotą poziomą.

Uwaga
Wykres może mieć co najwyżej jedną asymptotę ukośną lewostronną i co najwyżej jedną asymptotę ukośną prawostronną.

Twierdzenie (O współczynnikach asymptoty ukośnej lewostronnej)
Prosta $y=ax+b$ jest asymptotą ukośną lewostronną wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją właściwe granice
$\begin{align} a &=& \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{f(x)}{x} \nonumber \\ b &=& \lim_{x \rightarrow -\infty} \left[ f(x)-ax \right]\nonumber \end{align}$

Twierdzenie (O współczynnikach asymptoty ukośnej prawostronnej)
Prosta $y=ax+b$ jest asymptotą ukośną prawostronną wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją właściwe granice
$\begin{align} a &=& \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x} \nonumber \\ b &=& \lim_{x \rightarrow +\infty} \left[ f(x)-ax \right]\nonumber \end{align}$

Przykład
Wyznaczmy asymptoty ukośne wykresu funkcji $f(x)= \frac{x}{x-1}$ .
Rozwiązanie: Dziedzina $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ funkcji $f$ jest zbiorem nieograniczonym od dołu i od góry, zatem możemy sprawdzać zarówno przy $x\to-\infty$ jak i $x\to\infty$ , czyli szukać lewo- i prawostronnej asymptoty ukośnej.

Asymptota ukośna lewostronna:
$a =\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{f(x)}{x}$ $=\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{\frac{x}{x-1}}{x}$ $=\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{1}{x-1}$ $=\left[\frac{1}{-\infty}\right]$ $=0$ .
Powyższa granica zatem istnieje i jest skończona, więc kontynuujemy:
$b=\lim_{x \rightarrow -\infty} \left[ f(x)-ax \right]$ $=\lim_{x \rightarrow -\infty} \left[ \frac{x}{x-1}-0\cdot x \right]$ $=\lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{x}{x-1}$ $=1$ .
Powyższa granica również istnieje i jest skończona, więc wykres funkcji $f(x)= \frac{x}{x-1}$ ma asymptotę ukośną lewostronną $y=0\cdot x+1$ , czyli asymptotę lewostronną poziomą $y=1$ .

Podobnie szukamy asymptoty ukośniej prawostronnej:
$a =\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x}$ $=\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\frac{x}{x-1}}{x}$ $=\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{x-1}$ $=\left[\frac{1}{+\infty}\right]$ $=0$
$b=\lim_{x \rightarrow +\infty} \left[ f(x)-ax \right]$ $=\lim_{x \rightarrow +\infty} \left[ \frac{x}{x-1}-0\cdot x \right]$ $=\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{x}{x-1}$ $=1$ .

Wniosek: Wykres funkcji $f(x)= \frac{x}{x-1}$ ma asymptotę poziomą obustronną $y=1$ .

Ciągłość funkcji w punkcie

Definicja (Ciągłość funkcji w punkcie)
Niech funkcja $f$ będzie określona w pewnym otoczeniu $\mathcal{O}(x_0)$ punktu $x_{0}$ . Mówimy, że funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są jednocześnie dwa warunki:

a) istnieje granica $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$

b) granica ta jest równa wartości funkcji w punkcie $x_0$ , czyli $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ .

Twierdzenie (Warunek równoważny ciągłości funkcji w punkcie)
Funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_{0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\lim_{x\to x^{-}_{0}} f(x)=\lim_{x\to x^{+}_{0}} f(x)=f(x_{0})$ (równość granic jednostronnych i wartości funkcji w punkcie)

Definicja (Ciągłość funkcji w przedziale)
Powiemy, że funkcja jest ciągła w przedziale $I$ , jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.

Twierdzenie (O ciągłości funkcji elementarnych)
Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe w swoich dziedzinach naturalnych.

Przykład
Zbadajmy ciągłość funkcji $f(x)= \begin{cases}x^2 & \textrm{dla } x<1 \\x & \textrm{dla } 1\leq x < 3 \\2-x^2& \textrm{dla } 3 \leq x\end{cases}$ .
Rozwiązanie:
Funkcja $f$ ma dziedzinę $\mathbb{R}$ i jest sklejeniem trzech gałęzi: wielomianu stopnia drugiego, funkcji liniowej oraz wielomianu stopnia drugiego. Każda z nich jest ciągła w swojej dziedzinie naturalnej, więc jedyne punkty, w których ewentualnie może pojawić się nieciągłość, to punktu sklejenia tych gałęzi. Rozpatrzymy każdy z nich z osobna.

Sprawdzenie ciągłości funkcji $f$ w punkcie $x_{0}=1$ :
Granica lewostronna: $\lim_{x\to x^{-}_{0}} f(x)$ $= \lim_{x\to 1^{-}} x^{2}$ $= [(1^{-})^{2}]$ $=1$ .
Granica prawostronna: $\lim_{x\to x^{+}_{0}} f(x)$ $= \lim_{x\to 1^{+}} x$ $= [1^{+}]$ $=1$ .
Wartość funkcji w punkcie: $f(x_{0})=f(1)=1$ .
Wniosek: Na mocy twierdzenia "Warunek równoważny ciągłości funkcji w punkcie" funkcja $f$ jest ciągła w $x_{0}=1$ .

Sprawdzenie ciągłości funkcji $f$ w punkcie $x_{0}=3$ :
Granica lewostronna: $\lim_{x\to x^{-}_{0}} f(x)$ $= \lim_{x\to 3^{-}} x$ $= [3^{-}]$ $=3$ .
Granica prawostronna: $\lim_{x\to x^{+}_{0}} f(x)$ $= \lim_{x\to 3^{+}} (2-x^{2})$ $= [2-(3^{+})^{2}]$ $=-7$ .
Wartość funkcji w punkcie: $f(x_{0})$ $=f(3)$ $=2-3^{2}$ $=-7$ .
Wniosek: Na mocy twierdzenia "Warunek równoważny ciągłości funkcji w punkcie" funkcja $f$ nie jest ciągła w $x_{0}=3$ .

dostęp do własnych plusów, ocen, obecności i materiałów dydaktycznych po zalogowaniu

9 ms - 33082 wyświetleń