mathic.com: Krzysztof Wesołowski - Kurs: [30h] Matematyka - Zajęcia: Wykład 9 - Macierze (dodawanie, mnożenie, transponowanie, wyznacznik, rozwinięcie Laplace'a, wzór Sarrusa, eliminacja Gaussa, minor, rząd)

Kurs: [30h] Matematyka - Wykład

Temat: Wykład 9 - Macierze (dodawanie, mnożenie, transponowanie, wyznacznik, rozwinięcie Laplace'a, wzór Sarrusa, eliminacja Gaussa, minor, rząd)

Data zajęć: 2019-12-06

Ogłoszenia: 9:15-10:45

Treść zajęć

Macierze

Definicja macierzy

Definicja (Macierz)
Macierzą o $m$ wierszach i $n$ kolumnach oraz elementach $a _ {i,j}$ , gdzie $1 \leq i \leq m$ oraz $1\leq j \leq n$ nazywamy prostokątną tablicę liczb (rzeczywistych lub zespolonych) $\left[\begin{array}{cccc}a_ {1,1}&a_ {1,2}&\ldots&a_ {1,n}\\ a_ {2,1}&a_ {2,2}&\ldots&a_ {2,n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ a_ {m,1}&a_ {m,2}&\ldots&a_ {m,n}\end{array}\right]$ .

Definicja (Wymiar macierzy)
Macierz o $m$ wierszach i $n$ kolumnach nazywamy macierzą wymiaru $m \times n$ (należy pamiętać, że pierwsza liczba określa liczbę wierszy, druga liczbę kolumn).

Przykład
Macierz $\left[\begin{array}{cccc}\sqrt{2}&9&-3&3\\ 3&1&\ln 2&-18 \\ -4&-2&12&\pi \end{array}\right]$ jest wymiaru $3\times 4$ (ma 3 wiersze i 4 kolumny). Zauważmy ponadto, że przykładowo $a_{2,4} = -18$ , $a_{3,2} = -2$ , zaś wyraz $\ln 2$ ma w tej macierzy adres $(2,3)$ . Każdy wyraz macierzy ma precyzyjnie określoną lokalizację, określoną przez numer wiersza i kolumny, w której się znajduje.

Oznaczenie
Równoważnie stosuje się poniższe notacje:
$\left[\begin{array}{cccc}a_ {1,1}&a_ {1,2}&\ldots&a_ {1,n}\\ a_ {2,1}&a_ {2,2}&\ldots&a_ {2,n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ a_ {m,1}&a_ {m,2}&\ldots&a_ {m,n}\end{array}\right]$ $=\left[a_{i,j}\right]_{{1\leq i \leq m}\atop {1\leq j\leq n}}$ $=\left[a_{i,j}\right]_{{i\in\{1, \ldots, m\}}\atop {j\in\{1, \ldots, n\}}}$ $=\left[a_{i,j}\right]_{m\times n}$ (w zapisie $\left[a_{i,j}\right]_{m\times n}$ rozumiemy, że $i$ jest indeksowane od $1$ do $m$ , zaś $j$ jest indeksowane od $1$ do $n$ ).

Definicja (Równość macierzy)
Macierze nazywamy równymi, jeśli mają takie same wymiary i takie same odpowiadające sobie wyrazy, tzn. $a_{i,j}=b_{i,j}$ dla każdego $i\in\{1, \ldots, m\}$ oraz $j\in\{1, \ldots, n\}$ .

Definicja (Macierz zerowa)
Macierz, której wszystkie elementy są równe 0 nazywamy macierzą zerową. Macierz zerową oznaczamy $\mathbb{O}$ , zaś jako jej wymiar uznajemy taki, który wynika z kontekstu.

Definicja (Macierz kwadratowa)
Macierz dla której $m=n$ nazywamy macierzą kwadratową.

Dodawanie, odejmowanie macierzy i mnożenie macierzy przez liczbę

Definicja (Suma macierzy)
Sumą macierzy $\left[a_{i,j}\right]_{m\times n}$ i $\left[b_{i,j}\right]_{m\times n}$ nazywamy macierz $\left[a_{i,j}+b_{i,j}\right]_{m\times n}$ - oznacza to, że każdy element utworzonej macierzy jest sumą odpowiadających sobie elementów macierzy $\left[a_{i,j}\right]_{m\times n}$ i $\left[b_{i,j}\right]_{m\times n}$ .

Oznaczenie
Zapisujemy $\left[a_{i,j}\right]_{m\times n}+\left[b_{i,j}\right]_{m\times n}$ $=\left[a_{i,j}+b_{i,j}\right]_{m\times n}$ .

Definicja (Różnica macierzy)
Różnicą macierzy $\left[a_{i,j}\right]_{m\times n}$ i $\left[b_{i,j}\right]_{m\times n}$ nazywamy macierz $\left[a_{i,j}-b_{i,j}\right]_{m\times n}$ - oznacza to, że każdy element utworzonej macierzy jest różnicą odpowiadających sobie elementów macierzy $\left[a_{i,j}\right]_{m\times n}$ i $\left[b_{i,j}\right]_{m\times n}$ .

Oznaczenie
Zapisujemy $\left[a_{i,j}\right]_{m\times n}-\left[b_{i,j}\right]_{m\times n}$ $=\left[a_{i,j}-b_{i,j}\right]_{m\times n}$ .

Spostrzeżenie
Aby móc dodawać lub odejmować macierze, muszą one mieć takie same wymiary.

Przykład
Wyznaczmy sumę i różnicę macierzy $A$ i $B$ , gdzie $A=\left[ \begin{array}{rrrr} 5&0&-1&6\\ -2&0&3&1\\ 1&2&-1&0 \end{array}\right]$ oraz $B=\left[ \begin{array}{rrrr} 2&3&1&5\\ 1&0&0&0\\ 3&-1&-1&0 \end{array}\right]$ .
Rozwiązanie:
$A+B$ $=\left[ \begin{array}{rrrr} 5&0&-1&6\\ -2&0&3&1\\ 1&2&-1&0 \end{array}\right]+\left[ \begin{array}{rrrr} 2&3&1&5\\ 1&0&0&0\\ 3&-1&-1&0 \end{array}\right]$ $=\left[ \begin{array}{rrrr} 7&3&0&11\\ -1&0&3&1\\ 4&1&-2&0 \end{array}\right]$

$A-B$ $=\left[ \begin{array}{rrrr} 5&0&-1&6\\ -2&0&3&1\\ 1&2&-1&0 \end{array}\right]-\left[ \begin{array}{rrrr} 2&3&1&5\\ 1&0&0&0\\ 3&-1&-1&0 \end{array}\right]$ $=\left[ \begin{array}{rrrr} 3&-3&-2&1\\ -3&0&3&1\\ -2&3&0&0 \end{array}\right]$ .

Definicja (Iloczyn macierzy i liczby)
Iloczynem macierzy $\left[a_{i,j}\right]_{m\times n}$ i liczby $c$ rzeczywistej (lub zespolonej) nazywamy macierz tego samego wymiaru co macierz oryginalna, której elementy uzyskane są poprzez pomnożenie każdego wyrazu macierzy oryginalnej przez liczbę $c$ .

Oznaczenie
Zapisujemy $c\cdot\left[a_{i,j}\right]_{m\times n}$ $=\left[c\cdot a_{i,j}\right]_{m\times n}$ .

Przykład
$7\cdot \left[\begin{array}{rrr} 1&0&7\\ 1&2&-1\\ 2&3&2\\ 0&1&3 \end{array}\right]$ $=\left[ \begin{array}{rrr} 7&0&49\\ 7&14&-7\\ 14&21&14\\ 0&7&21 \end{array}\right]$ .

Twierdzenie (Własności dodawania macierzy i mnożenia macierzy przez liczbę)
Niech $A$ , $B$ , $C$ będą macierzami tego samego wymiaru, zaś $c$ i $d$ liczbami. Zachodzą następujące własności:

a) $A+B = B+A$ (przemienność dodawania macierzy)

b) $(A+B)+C=A+(B+C)$ (łączność dodawania macierzy)

c) $A+\mathbb{O}=\mathbb{O}+A=A$ (macierz zerowa jest netralna względem dodawania)

d) $-A=(-1)\cdot A$

e) $A+(-A)=\mathbb{O}$ (macierze $A$ i $-A$ są wzajemnie przeciwne)

f) $c\cdot(A+B)=c\cdot A+c\cdot B$ (rozdzielność mnożenia względem dodawania macierzy)

g) $c\cdot(d\cdot A)=(c\cdot d)\cdot A$ (łączność mnożenia macierzy przez liczbę)

Mnożenie macierzy

Definicja
Iloczynem dwóch macierzy: $A=\left[a_{i,j}\right]_{m\times k}$ i $B=\left[b_{i,j}\right]_{k\times n}$ nazywamy macierz $C=\left[c_{i,j}\right]_{m\times n}$ , gdzie poszczególne wyrazy $c_{i,j}$ oblicza się wzorem $c_{i,j}=a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j}+\ldots+a_{i,k}b_{k,j}$ .

Uwaga (Wymiar iloczynu macierzy)
Macierz wynikowa ma - jak widać wyżej - wymiar $(m\times n)$ , to znaczy ma tyle wierszy ile macierz $A$ i tyle kolumn ile ma macierz $B$ .

Uwaga (Warunek konieczny i wystarczający wykonalności mnożenia macierzy)
Tylko wtedy możliwe jest wymnożenie dwóch macierzy, jeśli ich wymiary wynoszą odpowiednio $(m\times \mathbf{k})$ oraz $(\mathbf{k}\times n)$ , mianowicie gdy liczba wierszy macierzy $A$ równa jest liczbie kolumn macierzy $B$ .

Oznaczenie
Zapisujemy $A\cdot B = \left[a_{i,j}\right]_{m\times k}\cdot \left[b_{i,j}\right]_{k\times n} = \left[c_{i,j}\right]_{m\times n}$ , gdzie $c_{i,j}=\sum_{p=1}^{k} a_{i,p}b_{p,j}$ .

Komentarz
Aby obliczyć $C=A\cdot B$ , możemy (zanim nabierzemy wprawy) zapisać jedna nad drugą macierze, stosując "schemat Falka": $\begin{array}{l|l}\cdot&B\\ \hline A& C \end{array}$ , co zobrazujemy poniższym rysunkiem.

Każda komórka tworzonej tablicy $C$ znajduje się "na skrzyżowaniu" odpowiedniej kolumny macierzy $A$ i wiersza macierzy $B$ . Przykładowo, aby wyliczyć zieloną komórkę $c_{3,3}$ musimy w wyobraźni wybrać wiersz trzeci macierzy $A$ i kolumnę trzecią macierzy $B$ (bo one krzyżują się na zielonej komórce), a następnie policzyć $c_{3,3}=a_{3,1}\cdot b_{1,3}+a_{3,2}\cdot b_{2,3}$ . Podobnie oblicza się wszystkie pozostałe komórki, przykładowo żółta komórka $c_{1,2}=a_{1,1}\cdot b_{1,2}+a_{1,2}\cdot b_{2,2}$ .

Uwaga (Nieprzemienność mnożenia macierzy)
Da się wykonać mnożenie $A_{4\times 7}\cdot B_{7\times 11}=C_{4\times 11}$ , ale nie da się wykonać mnożenia $B_{7\times 11}\cdot A_{4\times 7}$ (bo $11 \neq 4$ ), zatem mnożenie macierzy jest nieprzemienne!

Przykład
Niech $A=\left( \begin{array}{rrr} -2&1&0\\ 4&7&1 \end{array}\right)$ oraz $B=\left( \begin{array}{rrrr} 1&0&3&1\\ 2&7&3&0\\ -1&0&2&1 \end{array}\right)$ . Wyznaczmy iloczyn $A\cdot B$ .
Rozwiązanie:
$\begin{array}{c|c}&\left( \begin{array}{rrrr}1&0&\color{BrickRed}{\mathbf{3}}&1\\ 2&7&\color{BrickRed}{\mathbf{3}}&0\\ -1&0&\color{BrickRed}{\mathbf{2}}&1 \end{array}\right) \\ \hline \left( \begin{array}{rrr}\color{BrickRed}{\mathbf{-2}}&\color{BrickRed}{\mathbf{1}}&\color{BrickRed}{\mathbf{0}}\\ 4&7&1 \end{array}\right)&\left( \begin{array}{rrrr} 0&7&\color{BrickRed}{\mathbf{-3}}&-2\\ 17&49&35&5 \end{array}\right)\end{array}$
Przykładowo, aby wyliczyć wartość elementu $c_{1,3}$ wykonujemy działania $\color{BrickRed}c_{1,3}=-2\cdot 3+1\cdot 3+0\cdot 2 = -3$ . Podobnie dla pozostałych elementów.

Twierdzenie (Własności iloczynu macierzy)
Niech $A$ , $B$ , $C$ będą macierzami, zaś $c$ będzie liczbą. Jeżeli poszczególne mnożenia są możliwe do wykonania, to zachodzą następujące własności:

a) $A\cdot(B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C$ (łączność mnożenia macierzy)

b) $c\cdot (A\cdot B)=(c\cdot A)\cdot B=A\cdot(c\cdot B)$ (jednorodność mnożenia macierzy)

c) $A\cdot(B+C)=A\cdot B+A\cdot C$ (rozdzielność mnożenia względem dodawania prawostronnego macierzy)

d) $(A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$ (rozdzielność mnożenia względem lewostronnego dodawania macierzy)

Transponowanie macierzy

Definicja
Macierzą transponowaną do macierzy $\left[a_{i,j}\right]_{m\times n}$ nazywamy macierz $\left[a_{j,i}\right]_{n\times m}$ . Zapisujemy $\left[a_{i,j}\right]^{T}_{m\times n} = \left[a_{j,i}\right]_{n\times m}$ .

Przykład
Zauważmy, że $\left[ \begin{array}{rrr} 1&\color{BrickRed}{\mathbf{\boxed{2}}}&-1\\ 0&1&6\\ -1&3&2\\ 0&\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{-3}}}&2 \end{array}\right]^{T} = \left[ \begin{array}{rrrr} 1&0&-1&0\\ \color{BrickRed}{\mathbf{\boxed{2}}}&1&3&\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{-3}}}\\ -1&6&2&2 \end{array}\right]$ . Podczas transponowania element $\color{BrickRed}{\mathbf{\boxed{a_{1,2}}}}$ staje się w nowej macierzy elementem $\color{BrickRed}{\mathbf{\boxed{a_{2,1}}}}$ , element $\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{a_{4,2}}}}$ staje się w nowej macierzy elementem $\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{a_{2,4}}}}$ . Podobnie dla pozostałych elementów.

Komentarz
Z powyższego przykładu widać, że transponowanie macierzy polega na tym, że kolumny stają się wierszami (a tym samym wiersze stają się kolumnami).

Twierdzenie (Własności transpozycji)
Jeśli $c$ jest liczbą, zaś wymiary macierzy $A$ i $B$ dla poszczególnych własności są takie, aby rozważane działania były wykonalne, to zachodzą następujące własności:

$(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$ (transpozycja sumy macierzy jest sumą transpozycji)

$(A\cdot B)^{T}=B^{T}\cdot A^{T}$ (transpozycja iloczynu macierzy jest zamienionym kolejnością iloczynem transpozycji)

$(A^{T})^{T}=A$ (podwójne transponowanie nie zmienia macierzy)

$(c\cdot A)^{T}=c\cdot A^{T}$ (stałą można wyłączyć przez operację transponowania)

Niektóre macierze szczególne

Definicja (Główna przekątna macierzy kwadratowej)
Główną przekątną macierzy kwadratowej $\left[a_{i,j}\right]_{n\times n}$ nazywamy zbiór elementów, dla których numer wiersza i numer kolumny są równe, tj. zbiór elementów $\{a_{1,1},a_{2,2},\ldots,a_{n,n}\}$ , a dokładniej $\left[\begin{array}{cccc}\color{BrickRed}{\boxed{a_ {1,1}}}&a_ {1,2}&\ldots&a_ {1,n}\\ a_ {2,1}&\color{BrickRed}{\boxed{a_ {2,2}}}&\ldots&a_ {2,n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ a_ {n,1}&a_ {n,2}&\ldots&\color{BrickRed}{\boxed{a_ {n,n}}}\end{array}\right]$

Definicja (Macierz górnotrójkątna)
Macierzą górnotrójkątną (inaczej: trójkątną górną) nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie elementy leżące pod główną przekątną są równe zero.

Definicja (Macierz dolnotrójkątna)
Macierzą dolnotrójkątną (inaczej: trójkątną dolną) nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie elementy leżące nad główną przekątną są równe zero.

Przykład
Macierz $\left( \begin{array}{rrrr}\color{BrickRed}{\boxed{1}}&0&-3&2\\ 0&\color{BrickRed}{\boxed{12}}&3&1\\ 0&0&\color{BrickRed}{\boxed{-7}}&0\\ 0&0&0&\color{BrickRed}{\boxed{\sqrt{3}}}\end{array}\right)$ jest macierzą górnotrójkątną, bo pod przękątną ma same zera.

Definicja (Macierz diagonalna, przekątniowa)
Macierzą diagonalną (inaczej przekątniową) nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie elementy leżące poza główną przekątną są równe zero, mianowicie $\left[\begin{array}{cccc}\color{BrickRed}{\boxed{a_ {1,1}}}&0&\ldots&0 \\ 0&\color{BrickRed}{\boxed{a_ {2,2}}}&\ldots&0 \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ 0&0&\ldots&\color{BrickRed}{\boxed{a_ {n,n}}}\end{array}\right]$

Definicja (Macierz jednostkowa, identycznościowa, tożsamościowa)
Macierzą jednostkową (identycznościową, tożsamościową) stopnia $n$ nazywamy macierz diagonalną wymiaru $(n\times n)$ , mającą na przekątnej same jedynki, mianowicie $\left[\begin{array}{cccc}1&0&\ldots&0 \\ 0&1&\ldots&0 \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ 0&0&\ldots&1 \end{array}\right]$ .
Macierz identycznościową oznaczamy $\mathbb{I}$ .

Przykład
Macierz $\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{array}\right)$ jest macierzą jednostkową stopnia $3$ .

Definicja (Macierz symetryczna)
Macierz kwadratową $A$ nazywamy symetryczną, jeżeli jest równa swojej macierzy transponowanej, tj. zachodzi warunek $A=A^{T}$ .

Komentarz
Z powyższej definicji wynika, że macierz kwadratowa jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jej elementy leżące symetrycznie względem głównej przekątnej są sobie równe (obrazowo mówiąc główna przekątna jest osią symetrii).

Przykład
Macierz $\left[ \begin{array}{rrrrr}\color{BrickRed}{\mathbf{\boxed{1}}}&2&0&-1&2\\ 2&\color{BrickRed}{\mathbf{\boxed{-1}}}&1&3&5\\ 0&1&\color{BrickRed}{\mathbf{\boxed{0}}}&2&-1\\ -1&3&2&\color{BrickRed}{\mathbf{\boxed{5}}}&0\\ 2&5&-1&0&\color{BrickRed}{\mathbf{\boxed{3}}}\end{array}\right]$ jest symetryczna.

Wyznacznik macierzy

Z każdą macierzą kwadratową (uwaga: tylko kwadratową!) związana jest pewna liczba (możnaby ją określić mianem indykatora, przykładowo coś jak suma kontrolna pliku, albo cyfra kontrolna numeru konta bankowego, z tym, że - podobnie jak różne numery kont bankowych mogę mieć taką samą cyfrę kontrolną - różne macierze mogą mieć taką samę tę liczbę). Nazywa się ona wyznacznikiem macierzy i oznaczana jest symbolem $\det$ (od słowa "determinant"). Poniżej podamy formalną definicję i kilka równoważnych algorytmów obliczania wyznacznika (metodą rozwinięcia Laplace'a, wzorem Sarrusa, metodą eliminacji Gaussa). Istnieją też kalkulatory online do tego celu - można wyszukać na przykład "online matrix determinant calculator", aby sprawdzić poprawność własnych obliczeń.

Rozważmy kwadratową macierz $A=\left[\begin{array}{cccccc} a_ {1,1}&a_ {1,2}&\ldots&a_{1,j}&\ldots&a_ {1,n}\\ a_ {2,1}&a_ {2,2}&\ldots&a_{2,j}&\ldots&a_ {2,n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ a_ {i,1}&a_ {i,2}&\ldots&a_{i,j}&\ldots&a_ {i,n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ a_ {n,1}&a_ {n,2}&\ldots&a_{n,j}&\ldots&a_ {n,n}\end{array}\right]$ .

Definicja (Podmacierz $A_{i,j}$ macierzy $A$ )
Podmacierzą $A_{i,j}$ powyżej określonej macierzy $A$ będziemy nazywać macierz z niej utworzoną, poprzez wykreślenie $i$ -tego wiersza i $j$ -tej kolumny, mianowicie $A_{i,j}$ $=\left[\begin{array}{cccccccc}a_ {1,1}&a_ {1,2}&\ldots &a_{1,j-1}&\color{Red}{\mathbf{a_{1,j}}}&a_{1,j+1}&\ldots &a_ {1,n}\\ a_ {2,1}&a_ {2,2}&\ldots &a_{2,j-1}&\color{Red}{\mathbf{a_{2,j}}}&a_{2,j+1}&\ldots &a_ {2,n}\\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\color{Red}{\mathbf{\vdots}}&\vdots &\ddots &\vdots \\ a_ {i-1,1}&a_ {i-1,2}&\ldots &a_{i-1,j-1}&\color{Red}{\mathbf{a_{i-1,j}}}&a_{i-1,j+1}&\ldots &a_ {i-1,n}\\ \color{Red}{\mathbf{a_ {i,1}}}&\color{Red}{\mathbf{a_ {i,2}}}&\color{Red}{\mathbf{\ldots}}&\color{Red}{\mathbf{a_{i,j-1}}}&\color{Red}{\mathbf{a_{i,j}}}&\color{Red}{\mathbf{a_{i,j+1}}}&\color{Red}{\mathbf{\ldots}}&\color{Red}{\mathbf{a_ {i,n}}}\\ a_ {i+1,1}&a_ {i+1,2}&\ldots &a_{i+1,j-1}&\color{Red}{\mathbf{a_{i+1,j}}}&a_{i+1,j+1}&\ldots &a_ {i+1,n}\\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\color{Red}{\mathbf{\vdots}}&\vdots &\ddots &\vdots \\ a_ {n,1}&a_ {n,2}&\ldots &a_{n,j-1}&\color{Red}{\mathbf{a_{n,j}}}&a_{n,j+1}&\ldots &a_ {n,n}\end{array}\right]$ $=\left[\begin{array}{ccccccc}a_ {1,1}&a_ {1,2}&\ldots &a_{1,j-1}&a_{1,j+1}&\ldots &a_ {1,n}\\ a_ {2,1}&a_ {2,2}&\ldots &a_{2,j-1}&a_{2,j+1}&\ldots &a_ {2,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ a_ {i-1,1}&a_ {i-1,2}&\ldots &a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1}&\ldots &a_ {i-1,n}\\ a_ {i+1,1}&a_ {i+1,2}&\ldots &a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&\ldots &a_ {i+1,n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\ a_ {n,1}&a_ {n,2}&\ldots &a_{n,j-1}&a_{n,j+1}&\ldots &a_ {n,n}\end{array}\right]$ .

Definicja (Wyznacznik macierzy wymiaru $1\times 1$ )
Wyznacznik macierzy wymiaru $1\times 1$ definiujemy następująco: $\det\left[a_{1,1}\right] = a_{1,1}$

Przykład
$\det \left[-7\right] = -7$

Definicja (Wyznacznik macierzy wymiaru $2\times 2$ )
Wyznacznik macierzy wymiaru $2\times 2$ definiujemy następująco: $\det\left[\begin{array}{cc}\color{BrickRed}{\boxed{a_{1,1}}}&\color{RoyalBlue}{\boxed{a_{1,2}}}\\ \color{RoyalBlue}{\boxed{a_{2,1}}}&\color{BrickRed}{\boxed{a_{2,2}}}\end{array}\right] = \color{BrickRed}{\boxed{a_{1,1}}}\cdot \color{BrickRed}{\boxed{a_{2,2}}}\color{black}{-}\color{RoyalBlue}{\boxed{a_{2,1}}}\cdot \color{RoyalBlue}{\boxed{a_{1,2}}}$

Przykład
$\det\left[\begin{array}{cc}\color{BrickRed}{\boxed{-4}}&\color{RoyalBlue}{\boxed{12}}\\ \color{RoyalBlue}{\boxed{-2}}&\color{BrickRed}{\boxed{-1}}\end{array}\right] = \color{BrickRed}{\boxed{-4}}\cdot \color{BrickRed}{\boxed{-1}}\color{black}{-}\color{RoyalBlue}{\boxed{-2}}\cdot \color{RoyalBlue}{\boxed{12}}$ $=28$ .

Metoda rozwinięcia Laplace'a

Określimy teraz sposób liczenia wyznaczników metodą rozwinięcia Laplace'a - możliwe jest rozwinięcie względem wiersza jak i kolumny.

Definicja (Wyznacznik macierzy wyższych wymiarów metodą rozwinięcia Laplace'a według wiersza)
Wybieramy wiersz, według którego będziemy rozwijać wyznacznik, niech będzie to wiersz $i$ -ty (oznaczony niebieskim kolorem). Wyznacznik wynosi:
$\det A$ $=\det \left[\begin{array}{cccccc}a_ {1,1}&a_ {1,2}&\ldots&a_{1,j}&\ldots&a_ {1,n}\\ a_ {2,1}&a_ {2,2}&\ldots&a_{2,j}&\ldots&a_ {2,n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ \color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{a_ {i,1}}}}&\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{a_ {i,2}}}}&\ldots&\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{a_{i,j}}}}&\ldots&\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{a_ {i,n}}}}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ a_ {n,1}&a_ {n,2}&\ldots&a_{n,j}&\ldots&a_ {n,n}\end{array}\right]$ $=(-1)^{i+1}\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{a_ {i,1}}}}\color{black}\det A_{i,1}+(-1)^{i+2}\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{a_ {i,2}}}}\color{black}\det A_{i,2}+\ldots +(-1)^{i+n}\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{a_ {i,n}}}}\color{black}\det A_{i,n}$ $=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{i+k}\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{a_ {i,k}}}}\color{black}\det A_{i,k}$ , gdzie $A_{i,k}$ to podmacierz macierzy $A$ .

Definicja (Wyznacznik macierzy wyższych wymiarów metodą rozwinięcia Laplace'a według kolumny)
Wybieramy kolumnę, według której będziemy rozwijać wyznacznik, niech będzie to kolumna $j$ -ta (oznaczona niebieskim kolorem). Wyznacznik wynosi:
$\det A$ $=\det \left[\begin{array}{cccccc} a_ {1,1}&a_ {1,2}&\ldots&\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{a_{1,j}}}}&\ldots&a_ {1,n}\\ a_ {2,1}&a_ {2,2}&\ldots&\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{a_{2,j}}}}&\ldots&a_ {2,n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ a_ {i,1}&a_ {i,2}&\ldots&\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{a_{i,j}}}}&\ldots&a_ {i,n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ a_ {n,1}&a_ {n,2}&\ldots&\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{a_{n,j}}}}&\ldots&a_ {n,n}\end{array}\right]$ $=(-1)^{1+j}\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{a_ {1,j}}}}\color{black}\det A_{1,j}+(-1)^{2+j}\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{a_ {2,j}}}}\color{black}\det A_{2,j}+\ldots +(-1)^{n+j}\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{a_ {n,j}}}}\color{black}\det A_{n,j}$ $=\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+j}\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{a_ {k,j}}}}\color{black}\det A_{k,j}$ , gdzie $A_{k,j}$ to podmacierz macierzy $A$ .

Oznaczenie
W literaturze spotyka się niekiedy inne oznaczenie wyznacznika. Zamiast $\det \left[\begin{array}{cccccc} a_ {1,1}&a_ {1,2}&\ldots&a_{1,j}&\ldots&a_ {1,n}\\ a_ {2,1}&a_ {2,2}&\ldots&a_{2,j}&\ldots&a_ {2,n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ a_ {i,1}&a_ {i,2}&\ldots&a_{i,j}&\ldots&a_ {i,n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ a_ {n,1}&a_ {n,2}&\ldots&a_{n,j}&\ldots&a_ {n,n}\end{array}\right]$ używany jest zapis $\left|\begin{array}{cccccc} a_ {1,1}&a_ {1,2}&\ldots&a_{1,j}&\ldots&a_ {1,n}\\ a_ {2,1}&a_ {2,2}&\ldots&a_{2,j}&\ldots&a_ {2,n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ a_ {i,1}&a_ {i,2}&\ldots&a_{i,j}&\ldots&a_ {i,n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ a_ {n,1}&a_ {n,2}&\ldots&a_{n,j}&\ldots&a_ {n,n}\end{array}\right|$ (czyli nie pojawia się słowo $\det$ , ale nawiasy kwadratowe zostają zamienione na pionowe kreski jak w wartości bezwzględnej).

Twierdzenie (twierdzenie Laplace'a)
Wartość wyznacznika nie zależy od wyboru wiersza lub kolumny, względem których następuje rozwinięcie.

Przykład
Obliczmy wyznacznik, rozwijając względem trzeciego wiersza $\det\left[ \begin{array}{rrr} 2&3&0\\-1&1&1\\\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{3}}}&\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{2}}}&\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{0}}}\end{array}\right]$ $=(-1)^{3+1}\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{3}}}\color{black}\det A_{3,1}+(-1)^{3+2}\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{2}}}\color{black}\det A_{3,2}+(-1)^{3+3}\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{0}}}\color{black}\det A_{3,3}$ $=(*)$ .
Obliczamy wyznaczniki podmacierzy z wykreślonym wierszem i kolumną przechodzącymi odpowiednio przez: $\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{3}}}$ , $\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{2}}}$ , $\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{0}}}$ :
$\det A_{3,1}$ $=\det\left[\begin{array}{cc}3&0\\1&1\end{array}\right]$ $=3\cdot 1-1\cdot 0$ $=3$ .
$\det A_{3,2}$ $=\det\left[\begin{array}{cc}2&0\\-1&1\end{array}\right]$ $=2\cdot 1-(-1)\cdot 0$ $=2$ .
$\det A_{3,3}$ $=\det\left[\begin{array}{cc}2&3\\-1&1\end{array}\right]$ $=2\cdot 1-(-1)\cdot 3$ $=5$ .
Otrzymujemy $(*)$ $=(-1)^{4}\cdot\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{3}}}\color{black}\cdot 3+(-1)^{5}\cdot\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{2}}}\color{black}\cdot 2+(-1)^{6}\cdot\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{0}}}\color{black}\cdot 5$ $=9-4+0$ $=5$ .

Przykład
Obliczmy wyznacznik tej samej macierzy, rozwijając względem drugiej kolumny $\det\left[ \begin{array}{rrr} 2&\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{3}}}&0\\-1&\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{1}}}&1\\3&\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{2}}}&0 \end{array}\right]$ $=(-1)^{1+2}\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{3}}}\color{black}\det A_{1,2}+(-1)^{2+2}\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{1}}}\color{black}\det A_{2,2}+(-1)^{3+2}\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{2}}}\color{black}\det A_{3,2}$ $=(*)$ .
Obliczamy wyznaczniki podmacierzy z wykreślonym wierszem i kolumną przechodzącymi odpowiednio przez: $\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{3}}}$ , $\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{1}}}$ , $\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{2}}}$ :
$\det A_{1,2}$ $=\det\left[\begin{array}{cc}-1&1\\3&0\end{array}\right]$ $=(-1)\cdot 0-3\cdot 1$ $=-3$ .
$\det A_{2,2}$ $=\det\left[\begin{array}{cc}2&0\\3&0\end{array}\right]$ $=2\cdot 0-3\cdot 0$ $=0$ .
$\det A_{3,2}$ $=\det\left[\begin{array}{cc}2&0\\-1&1\end{array}\right]$ $=2\cdot 1-(-1)\cdot 0$ $=2$ .
Otrzymujemy $(*)$ $=(-1)^{3}\cdot\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{3}}}\color{black}\cdot (-3)+(-1)^{4}\cdot\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{1}}}\color{black}\cdot 0+(-1)^{5}\cdot\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{2}}}\color{black}\cdot 2$ $=9+0-4$ $=5$ .

Uwaga
Na tej samej zasadzie liczy się wyznaczniki macierzy wyższych stopni.

Definicja (Macierz nieosobliwa)
Macierz nazywamy nieosobliwą, jeśli ma niezerowy wyznacznik.

Twierdzenie (Własności wyznacznika)
Niech $A$ będzie macierzą kwadratową.

a) Jeżeli $A$ zawiera wiersz (kolumnę) składającą się z samych zer, to $\det A=0$ (wystarczy rozwinąć względem wiersza zerowego lub kolumny zerowej)

b) Jeżeli zamienimy miejscami dwa wiersze (kolumny) macierzy A, to wyznacznik zmieni znak na przeciwny

c) Jeżeli macierz $A$ zawiera dwa jednakowe wiersze (kolumny), to $\det A=0$

d) Wyznacznik macierzy $A$ nie zmieni się, jeżeli do pewnego wiersza (kolumny) tej macierzy dodamy przemnożony przez stałą inny wiersz (kolumnę) macierzy $A$

e) Jeżeli wszystkie elementy pewnego wiersza (kolumny) macierzy $A$ pomnożymy przez liczbę $c$ , to wyznacznik otrzymanej macierzy będzie równy $c\cdot \det A$

f) Transpozycja macierzy $A$ nie zmienia jej wyznacznika, tj. $\det A=\det A^{T}$

g) Jeżeli macierze $A$ i $B$ są tych samych stopni, to $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$

Uwaga
W zadaniach najlepiej wybierać takie wiersze lub kolumny, które zawierają jak najwięcej zer, bo mamy mniej liczenia, jak w poniższym przykładzie.

Przykład
Obliczmy wyznacznik macierzy trójkątnej.
$\det\left[\begin{array}{rrrrr}\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{1}}}&2&3&4&5\\ \color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{0}}}&2&3&4&5\\ \color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{0}}}&0&3&4&5\\ \color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{0}}}&0&0&4&5\\ \color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{0}}}&0&0&0&5 \end{array}\right]$ $=(-1)^{1+1}\cdot \color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{1}}}\color{black}\cdot \mathrm{det}\left[\begin{array}{rrrr}\color{BrickRed}{\mathbf{\boxed{2}}}&3&4&5\\ \color{BrickRed}{\mathbf{\boxed{0}}}&3&4&5\\ \color{BrickRed}{\mathbf{\boxed{0}}}&0&4&5\\ \color{BrickRed}{\mathbf{\boxed{0}}}&0&0&5 \end{array}\right]+0+0+0+0$ $=(-1)^{1+1}\cdot \color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{1}}}\color{black}\cdot (-1)^{1+1}\cdot \color{BrickRed}{\mathbf{\boxed{2}}}\color{black}\cdot \det \left[\begin{array}{rrr} \color{PineGreen}{\mathbf{\boxed{3}}}&4&5\\ \color{PineGreen}{\mathbf{\boxed{0}}}&4&5\\ \color{PineGreen}{\mathbf{\boxed{0}}}&0&5\end{array}\right]$ $=(-1)^{1+1}\cdot \color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{1}}}\color{black}\cdot (-1)^{1+1}\cdot \color{BrickRed}{\mathbf{\boxed{2}}}\color{black}\cdot (-1)^{1+1}\cdot \color{PineGreen}{\mathbf{\boxed{3}}}\color{black}\cdot\det\left[\begin{array}{rr}\color{Brown}{\mathbf{\boxed{4}}}&5\\ \color{Brown}{\mathbf{\boxed{0}}}&\color{YellowOrange}{\mathbf{\boxed{5}}}\end{array}\right]$ $=(-1)^{1+1}\cdot \color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{1}}}\color{black}\cdot (-1)^{1+1}\cdot \color{BrickRed}{\mathbf{\boxed{2}}}\color{black}\cdot (-1)^{1+1}\cdot \color{PineGreen}{\mathbf{\boxed{3}}}\color{black}\cdot (-1)^{1+1}\cdot \color{Brown}{\mathbf{\boxed{4}}}\color{black}\cdot (-1)^{1+1}\cdot \color{YellowOrange}{\mathbf{\boxed{5}}}\color{black}$ $=\color{RoyalBlue}{\mathbf{\boxed{1}}}\color{black}\cdot \color{BrickRed}{\mathbf{\boxed{2}}}\color{black}\cdot \color{PineGreen}{\mathbf{\boxed{3}}}\color{black}\cdot \color{Brown}{\mathbf{\boxed{4}}}\color{black}\cdot \color{YellowOrange}{\mathbf{\boxed{5}}}$ . Przykład ten służy do zobrazowania poniższego twierdzenia.

Twierdzenie (Wyznacznik macierzy trójkątnej)
Wyznacznik macierzy górnotrójkątnej i dolnotrójkątnej jest równy iloczynowi wyrazów leżących na głównej przekątnej.

Metoda Sarrusa

Podamy szybki sposób liczenia wyznacznika macierzy $3\times 3$ metodą Sarrusa.

Twierdzenie (Metoda Sarrusa liczenia wyznacznika macierzy $3\times 3$ )
$\det\left[\begin{array}{ccc}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{array}\right]=$ (kopiujemy na spód pierwszy i drugi wiersz) $=\left(\begin{array}{ccccc}\color{BrickRed}{\boxed{a_{1,1}}}& &a_{1,2}& &\color{RoyalBlue}{\boxed{a_{1,3}}}\\&\diagdown&& \diagup&\\\color{BrickRed}{\boxed{a_{2,1}}}& &\color{BrickRed}{\boxed{\color{RoyalBlue}{\boxed{a_{2,2}}}}}&&\color{RoyalBlue}{\boxed{a_{2,3}}}\\&\times&& \times&\\\color{BrickRed}{\boxed{\color{RoyalBlue}{\boxed{a_{3,1}}}}}& &\color{BrickRed}{\boxed{\color{RoyalBlue}{\boxed{a_{3,2}}}}}& &\color{BrickRed}{\boxed{\color{RoyalBlue}{\boxed{a_{3,3}}}}}\\&\times&& \times&\\ \color{RoyalBlue}{\boxed{a_{1,1}}}& &\color{BrickRed}{\boxed{\color{RoyalBlue}{\boxed{a_{1,2}}}}}& &\color{BrickRed}{\boxed{a_{1,3}}}\\&\diagup&& \diagdown&\\ \color{RoyalBlue}{\boxed{a_{2,1}}}&& a_{2,2}&&\color{BrickRed}{\boxed{a_{2,3}}}\end{array}\right)=$ (dodajemy iloczyny czerwonych "przekątnych" i odejmujemy iloczyny niebieskich "przekątnych") $=\color{BrickRed}{a_{1,1}}\color{BrickRed}{a_{2,2}}\color{BrickRed}{a_{3,3}}$ $+\color{BrickRed}{a_{2,1}}\color{BrickRed}{a_{3,2}}\color{BrickRed}{a_{1,3}}$ $+\color{BrickRed}{a_{3,1}}\color{BrickRed}{a_{1,2}}\color{BrickRed}{a_{2,3}}$ $-\color{RoyalBlue}{a_{3,1}}\color{RoyalBlue}{a_{2,2}}\color{RoyalBlue}{a_{1,3}}$ $-\color{RoyalBlue}{a_{1,1}}\color{RoyalBlue}{a_{3,2}}\color{RoyalBlue}{a_{2,3}}$ $-\color{RoyalBlue}{a_{2,1}}\color{RoyalBlue}{a_{1,2}}\color{RoyalBlue}{a_{3,3}}$

Przykład
Obliczmy $\det\left[\begin{array}{rrr}2&-6&3\\-1&0&4\\1&5&-2\end{array}\right]$ $=\left(\begin{array}{rrrrr}\color{BrickRed}{\boxed{2}}& &-6& &\color{RoyalBlue}{\boxed{3}}\\&\diagdown&& \diagup&\\ \color{BrickRed}{\boxed{-1}}& &\color{BrickRed}{\boxed{\color{RoyalBlue}{\boxed{0}}}}& &\color{RoyalBlue}{\boxed{4}}\\&\times&& \times&\\ \color{BrickRed}{\boxed{\color{RoyalBlue}{\boxed{1}}}}& &\color{BrickRed}{\boxed{\color{RoyalBlue}{\boxed{5}}}}& &\color{BrickRed}{\boxed{\color{RoyalBlue}{\boxed{-2}}}}\\&\times&& \times&\\ \color{RoyalBlue}{\boxed{2}}& &\color{BrickRed}{\boxed{\color{RoyalBlue}{\boxed{-6}}}}& &\color{BrickRed}{\boxed{3}}\\&\diagup&& \diagdown&\\ \color{RoyalBlue}{\boxed{-1}}& &0& &\color{BrickRed}{\boxed{4}}\end{array}\right)$ $=2\cdot 0\cdot (-2)+(-1)\cdot5\cdot3+1\cdot (-6) \cdot 4-1\cdot 0\cdot 3-2\cdot 5\cdot 4-(-1)\cdot (-6)\cdot (-2)$ $=0-15-24-0-40+12$ $=-67$ .

Metoda eliminacji Gaussa

Podamy teraz sposób obliczenia wyznacznika macierzy metodą eliminacji Gaussa. Jak zauważyliśmy powyżej, wyznacznik macierzy trójkątnej liczy się bezproblemowo, bo równy jest iloczynowi wyrazów na głównej przekątnej. Będziemy chcieli sprowadzić dowolną macierz kwadratową do postaci górnotrójkątnej, co nazywane jest eliminacją Gaussa. Metoda ta opiera się na własnościach wyznacznika, w szczególności na fakcie, że dodanie dowolnego do wiersza przemnożonego przez liczbę innego wiersza nie zmienia wyznacznika, zaś zamiana wierszy zmienia znak na przeciwny. Metodę omówimy na przykładzie, a nie ogólnie - na symbolach.

Przykład
Chcemy mieć zera pod główną przekątną, w komórkach niebieskiego koloru. Policzmy $\det\left[\begin{array}{rrrr}\color{BrickRed}{\boxed{1}}&-1&3&-2\\\color{RoyalBlue}{\boxed{2}}&\color{BrickRed}{\boxed{-3}}&1&-4\\\color{RoyalBlue}{\boxed{-2}}&\color{RoyalBlue}{\boxed{5}}&\color{BrickRed}{\boxed{-6}}&3\\\color{RoyalBlue}{\boxed{3}}&\color{RoyalBlue}{\boxed{2}}&\color{RoyalBlue}{\boxed{-1}}&\color{BrickRed}{\boxed{1}}\end{array}\right]=$ (w kroku pierwszym eliminacji zajmiemy się pierwszą kolumną) $=\det\left[\begin{array}{rrrr}\color{BrickRed}{\boxed{1}}&-1&3&-2\\\color{RoyalBlue}{\boxed{2}}&\color{BrickRed}{\boxed{-3}}&1&-4\\\color{RoyalBlue}{\boxed{-2}}&5&\color{BrickRed}{\boxed{-6}}&3\\\color{RoyalBlue}{\boxed{3}}&2&-1&\color{BrickRed}{\boxed{1}}\end{array}\right]=$ (czerwone komórki zerujemy komórką czerwoną z pierwszego wiersza, więc - na przykład w drugim wierszu - aby wyzerować $\color{RoyalBlue}{\boxed{2}}$ musimy dodać $\color{YellowOrange}{\boxed{-2}}\cdot \color{BrickRed}{\boxed{1}}$ i podobną operację zerowania wykonujemy na wszystkich wierszach poza pierwszym) $=\left\{\begin{array}{l} w_{1}\to w_{1}\\ w_{2}\to \color{RoyalBlue}{\boxed{w_{2}}}+\color{YellowOrange}{\boxed{-2}}\cdot \color{BrickRed}{\boxed{w_{1}}}\\ w_{3}\to \color{RoyalBlue}{\boxed{w_{3}}}+\color{YellowOrange}{\boxed{2}}\cdot \color{BrickRed}{\boxed{w_{1}}}\\ w_{4}\to \color{RoyalBlue}{\boxed{w_{4}}}+\color{YellowOrange}{\boxed{-3}}\cdot \color{BrickRed}{\boxed{w_{1}}}\end{array}\right\}=$ (te operacje są wykonywane na całych wierszach) $=\det\left[\begin{array}{rrrr}\color{BrickRed}{\boxed{1}}&-1&3&-2\\0&\color{BrickRed}{\boxed{-1}}&-5&0\\0&\color{RoyalBlue}{\boxed{3}}&\color{BrickRed}{\boxed{0}}&-1\\0&\color{RoyalBlue}{\boxed{5}}&-10&\color{BrickRed}{\boxed{7}}\end{array}\right]=$ (w kroku drugim będziemy zerować elementy w drugiej kolumnie - niebieskie komórki w wierszu trzecim i czwartym, jednak nie użyjemy już wiersza pierwszego, bo zepsulibyśmy zera z pierwszej kolumny, więc użyjemy wiersza drugiego) $=\left\{\begin{array}{l} w_{1}\to w_{1}\\ w_{2}\to w_{2}\\ w_{3}\to \color{RoyalBlue}{\boxed{w_{3}}}+\color{YellowOrange}{\boxed{3}}\cdot \color{BrickRed}{\boxed{w_{2}}}\\ w_{4}\to \color{RoyalBlue}{\boxed{w_{4}}}+\color{YellowOrange}{\boxed{5}}\cdot \color{BrickRed}{\boxed{w_{2}}}\end{array}\right\}$ $=\det\left[\begin{array}{rrrr}\color{BrickRed}{\boxed{1}}&-1&3&-2\\0&\color{BrickRed}{\boxed{-1}}&-5&0\\0&0&\color{BrickRed}{\boxed{-15}}&-1\\0&0&\color{RoyalBlue}{\boxed{-35}}&\color{BrickRed}{\boxed{7}}\end{array}\right]$ $=\left\{\begin{array}{l} w_{1}\to w_{1}\\ w_{2}\to w_{2}\\ w_{3}\to w_{3}\\ w_{4}\to \color{RoyalBlue}{\boxed{w_{4}}}+\color{YellowOrange}{\boxed{-\frac{35}{15}}}\cdot \color{BrickRed}{\boxed{w_{3}}}\end{array}\right\}$ $=\det\left[\begin{array}{rrrr}\color{BrickRed}{\boxed{1}}&-1&3&-2\\0&\color{BrickRed}{\boxed{-1}}&-5&0\\0&0&\color{BrickRed}{\boxed{-15}}&-1\\0&0&0&\left(\color{RoyalBlue}{\boxed{7}}+\color{YellowOrange}{\boxed{-\frac{35}{15}}}\cdot \color{BrickRed}{\boxed{-1}}\color{black}\right)\end{array}\right]$ $=\det\left[\begin{array}{rrrr}\color{BrickRed}{\boxed{1}}&-1&3&-2\\0&\color{BrickRed}{\boxed{-1}}&-5&0\\0&0&\color{BrickRed}{\boxed{-15}}&-1\\0&0&0&\color{BrickRed}{\boxed{\frac{385}{15}}}\end{array}\right]$ $=\color{BrickRed}{\boxed{1}}\cdot \color{BrickRed}{\boxed{-1}}\cdot \color{BrickRed}{\boxed{-15}}\cdot \color{BrickRed}{\boxed{\frac{140}{15}}}$ $=140$ .

Minor macierzy

Definicja (Minor macierzy)
Niech $A$ będzie dowolną macierzą (niekoniecznie kwadratową) wymiaru $m\times n$ i niech $k$ będzie liczbą naturalną mniejszą lub równą od mniejszej z liczb $m,n$ . Minorem stopnia $k$ macierzy $A$ nazywamy wyznacznik utworzony z elementów tej macierzy stojących na przecięciu dowolnie wybranych $k$ wierszy i $k$ kolumn (inaczej mówiąc wykreślamy wiersze i kolumny aż zostanie $k$ wierszy i $k$ kolumn, a następnie liczymy wyznacznik tej macierzy $k\times k$ ).

Przykład
Niech dana będzie macierz $A=\left[\begin{array}{cc} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\ a_{31}&a_{32}\\ a_{41}&a_{42}\end{array}\right]$ .

a) Jest osiem minorów stopnia pierwszego. Są to wyrazy tej macierzy, mianowicie: $\det\left[a_{i,j}\right] = a_{i,j}$ .

b) Jest sześć (bo ${4\choose 2}=6$ - liczba możliwych wyborów dwóch wierszy spośród czterech możliwych) minorów stopnia drugiego, mianowicie: $\det\left[\begin{array}{cc} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{array}\right]$ , $\det\left[\begin{array}{cc} a_{11}&a_{12}\\ a_{31}&a_{32}\end{array}\right]$ , $\det\left[\begin{array}{cc} a_{11}&a_{12}\\ a_{41}&a_{42}\end{array}\right]$ , $\det\left[\begin{array}{cc} a_{21}&a_{22}\\ a_{31}&a_{32}\end{array}\right]$ , $\det\left[\begin{array}{cc} a_{21}&a_{22}\\ a_{41}&a_{42}\end{array}\right]$ , $\det\left[\begin{array}{cc} a_{31}&a_{32}\\ a_{41}&a_{42}\end{array}\right]$

Przykład
Niech macierz będzie dana macierz $A=\left[\begin{array}{cccc} 1&2&3&4\\ 2&3&4&1\\ 3&4&1&2\\4&1&2&3 \end{array}\right]$ .

a) Każdy z elementów macierzy $A$ stanowi macierz $1\times 1$ , zatem jest jej minorem stopnia 1 (bo składa się z jednego wiersza i jednej kolumny, jest 16 takich minorów).

b) Obliczymy przykładowy minor stopnia 2. Wybieramy zatem dwa dowolne wiersze i dwie dowolne kolumny: niech będą to wiersze o numerach 1 i 3 oraz kolumny o numerach 2 i 4, a następnie obliczamy wyznacznik utworzony z elementów stojących na przecięciach wybranych wierszy i kolumn. W tym przypadku będzie to wyznacznik: $\det\left[\begin{array}{cc}2&4\\ 4&2\\ \end{array}\right]$ $=4-16=-12$ (ile minorów stopnia 2 lub podmacierzy wymiaru ( $2\times 2$ ) można w tej macierzy znaleźć? Odpowiedź: ${4\choose 2}\cdot{4\choose 2}=6\cdot 6=36$ ).

c) Zauważmy, że chcąc obliczyć minor stopnia 4, do utworzenia go musimy wykorzystać wszystkie cztery wiersze i wszystkie cztery kolumny macierzy $A$ . Wobec tego jedynym minorem stopnia 4 tej macierzy jest jej wyznacznik: $\det A=\left[\begin{array}{cccc} 1&2&3&4\\ 2&3&4&1\\ 3&4&1&2\\4&1&2&3 \end{array}\right]$ $=-36$ .

c) Ponieważ macierz $A$ jest wymiaru $4\times 2$ więc nie może mieć minorów stopnia większego od dwóch.

Uwaga
Warto zauważyć, że dowolna macierz kwadratowa stopnia $n$ ma dokładnie jeden minor stopnia $n$ - jest nim jej wyznacznik.

Rząd macierzy

Definicja (Rząd macierzy)
Rzędem dowolnej macierzy $A$ (oznaczanym $\mathrm{rz }A$ lub $\mathrm{rank }A$ ) nazywamy taką liczbę naturalną $r$ , że z macierzy $A$ można wybrać przynajmniej jeden niezerowy minor stopnia $r$ , natomiast wszystkie minory stopni większych od $r$ , jeśli takie istnieją, są równe zero.

Uwaga
Jedyna macierz, która ma rząd równy zero, to macierz zerowa. Każda inna ma jakiś niezerowy element, który stanowi niezerowy minor stopnia pierwszego.

Przykład
Wyznaczmy rząd macierzy $A=\left[ \begin{array}{rrr} 2&-1&5\\ 2&4&6\\ 4&3&11 \end{array}\right]$ .

Ponieważ macierz $A$ jest wymiaru $3\times 3$ , zatem jej rząd jest co najwyżej równy 3 (bo "większy kwadrat się nie zmieści"). Ponadto, skoro jest to macierz kwadratowa, to jedynym minorem stopnia 3 jest jej wyznacznik. Obliczmy zatem minor stopnia 3: $\det\left[ \begin{array}{rrr} 2&-1&5\\ 2&4&6\\ 4&3&11 \end{array}\right]=0$ , zatem $\mathrm{rz}(A) < 3$ .

Szukamy następnie niezerowego minora stopnia 2. Takim minorem jest na przykład $\det\left[ \begin{array}{rr} 2&-1\\ 2&4 \end{array}\right]=10$ , zatem rząd macierzy $A$ jest równy 2.

Twierdzenie (Własności rzędu macierzy)
Zachodzą następujące własności:

a) Jeśli $\det A_{n\times n}\neq 0$ , to $\mathrm{rz }A=n$ (bo największym kwadratem o niezerowym wyznaczniku "zawartym" w macierzy $A$ jest ona sama)

b) Dla dowolnej macierzy $A$ zachodzi $\mathrm{rz}(A^{T})=\mathrm{rz}(A)$ (transponowanie nie zmienia rzędu)

Definicja (Przekształcenia elementarne)
Niech $A$ będzie dowolną macierzą. Przekształceniami elementarnymi nazywamy następujące operacje na macierzy $A$ :

a) Przestawienie dwóch wierszy (kolumn)

b) Pomnożenie wiersza (kolumny) przez stałą różną od zera

c) Dodanie do wiersza (kolumny) innych wierszy (kolumn) pomnożonych przez dowolne stałe

d) Usunięcie wiersza złożonego z samych zer

Twierdzenie (O zachowaniu rzędu macierzy przy przekształceniach elementarnych)
Przekształcenia elementarne nie zmieniają rzędu macierzy.

Możemy wykorzystać poznaną wcześniej metodę eliminacji Gaussa do szybkiego wyznaczania rzędu macierzy. Zilustrujemy to na przykładzie, w którym będziemy stosować tylko wyżej określone przekształcenia elementarne, które nie wpływają na rząd macierzy.

Przykład
Wyznaczmy rząd macierzy $A=\left[\begin{array}{rrrrr} 4&6&2\\ 3&1&4\\ 1&-2&3\\ 2&5&1 \end{array}\right]$ . Mamy $\mathrm{rz }A$ $=\mathrm{rz }\left[\begin{array}{rrrrr} 4&6&2\\ 3&1&4\\ 1&-2&3\\ 2&5&1 \end{array}\right]=$ (zamieniamy wiersze pierwszy z trzecim, aby mieć jedynkę w komórce $(1,1)$ ) $=\left\{\begin{array}{ccl} w_{1}&\rightarrow &w_{3}\\ w_{2}&\rightarrow &w_{2}\\ w_{3}&\rightarrow &w_{1}\\ w_{4}&\rightarrow &w_{4}\end{array}\right\}$ $=\mathrm{rz }\left[\begin{array}{rrr} 1&-2&3\\ 3&1&4\\ 4&6&2\\ 2&5&1 \end{array}\right]=$ (w kroku pierwszym eliminujemy kolumnę pierwszą) $=\left\{\begin{array}{ccl} w_{1}&\rightarrow &w_{1}\\ w_{2}&\rightarrow &w_{2}-3w_{1}\\ w_{3}&\rightarrow &w_{3}-4w_{1}\\ w_{4}&\rightarrow &w_{4}-2w_{1}\end{array}\right\}$ $=\mathrm{rz }\left[\begin{array}{rrr} 1&-2&3\\ 0&7&-5\\ 0&14&-10\\ 0&9&-5 \end{array}\right]=$ (w kroku drugim eliminujemy kolumnę drugą) $=\left\{\begin{array}{ccl} w_{1}&\rightarrow &w_{1}\\ w_{2}&\rightarrow &w_{2}\\ w_{3}&\rightarrow &w_{3}-2w_{2}\\ w_{4}&\rightarrow&w_{4}-\frac{9}{7}w_{2}\end{array}\right\}$ $=\mathrm{rz }\left[\begin{array}{rrr} 1&-2&3\\ 0&7&-5\\ 0&0&0\\ 0&0&\frac{10}{7}\end{array}\right]=$ (zamieniamy wiersz trzeci z czwartym) $=\left\{\begin{array}{ccl} w_{1}&\rightarrow &w_{1}\\ w_{2}&\rightarrow &w_{2}\\ w_{3}&\rightarrow &w_{4}\\ w_{4}&\rightarrow &w_{3}\end{array}\right\}$ $=\mathrm{rz }\left[\begin{array}{rrr} 1&-2&3\\ 0&7&-5\\ 0&0&\frac{10}{7}\\ 0&0&0 \end{array}\right]=$ (usuwamy wiersz zerowy) $=\mathrm{rz }\left[\begin{array}{rrr} 1&-2&3\\ 0&7&-5\\ 0&0&\frac{10}{7}\end{array}\right]$ $=3$ , bo wyznacznik takiej zredukowanej macierzy jest równy $10$ .

dostęp do własnych plusów, ocen, obecności i materiałów dydaktycznych po zalogowaniu

7 ms - 33044 wyświetleń