mathic.com: Krzysztof Wesołowski - Kurs: [30h] Matematyka - Zajęcia: Wykład 10 - Układy równań liniowych (twierdzenie Kroneckera-Capellego, twierdzenie Cramera)

Kurs: [30h] Matematyka - Wykład

Temat: Wykład 10 - Układy równań liniowych (twierdzenie Kroneckera-Capellego, twierdzenie Cramera)

Data zajęć: 2019-12-13

Ogłoszenia: 9:15-10:45

Treść zajęć

Układy równań liniowych

Definicja (Układ równań liniowych)
Układ równań postaci
$\textrm{(UR)}\left\{ \begin{array}{c} \color{BrickRed}a_{1,1}\color{black}x_{1}+\color{BrickRed}a_{1,2}\color{black}x_{2}+\cdots+\color{BrickRed}a_{1,n}\color{black}x_{n}=\color{RoyalBlue}b_{1}\color{black}\\\color{BrickRed}a_{2,1}\color{black}x_{1}+\color{BrickRed}a_{2,2}\color{black}x_{2}+\cdots+\color{BrickRed}a_{2,n}\color{black}x_{n}=\color{RoyalBlue}b_{2}\color{black}\\\vdots\\\color{BrickRed}a_{m,1}\color{black}x_{1}+\color{BrickRed}a_{m,2}\color{black}x_{2}+\cdots+\color{BrickRed}a_{m,n}\color{black}x_{n}=\color{RoyalBlue}b_{m}\color{black}\end{array}\right.$
nazywamy układem $m$ równań liniowych o $n$ niewiadomych $x_{1},\ldots,x_{n}$ . Liczby $\color{BrickRed}a_{i,j}$ nazywamy współczynnikami układu, zaś liczby $\color{RoyalBlue}b_{i}$ nazywamy wyrazami wolnymi. Zarówno współczynniki jak i wyrazy wolne mogę być liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi.

Definicja (Układ równań jednorodny)
Układ równań liniowych (UR), którego wszystkie wyrazy wolne są zerowe (mianowicie $b_{i}=0$ , dla $i=1,\ldots,m$ ), nazywamy układem jednorodnym.

Definicja (Układ równań niejednorodny)
Układ równań, który nie jest układem jednorodnym nazywamy układem niejednorodnym.

Macierzowy zapis układu równań liniowych

Z układem (UR) można powiązać macierz wymiaru $m\times n$
$A=\left[ \color{BrickRed} \begin{array}{llll}a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,n}\\a_{2,1} & a_{2,2} & \ldots & a_{2,n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{m,1} & a_{m,2} & \ldots & a_{m,n} \end{array} \color{black} \right]$ ,
nazywaną macierzą główną lub macierzą współczynników układu (UR),

oraz dwie macierze kolumnowe:
$X=\left[ \begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array} \right]$ oraz $B=\left[ \color{RoyalBlue} \begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots\\ b_{m} \end{array} \color{black} \right]$ .
Macierz $X$ nazywać będziemy wektorem lub kolumną niewiadomych, zaś macierz $B$ nazywać będziemy wektorem lub kolumną wyrazów wolnych.

Przy powyższych oznaczeniach układ (UR) można zapisać jako $\color{BrickRed}A\color{black}\cdot X=\color{RoyalBlue}B$ (ćwiczenie - wykonać mnożenie macierzy $A\cdot X$ ).

Ocena liczby rozwiązań układu równań liniowych przy wykorzystaniu twierdzenia Kroneckera-Capellego

Niech $U$ będzie macierzą o wymiarze $m\times\left[ n+1\right]$ powstałą z macierzy głównej $A$ wymiaru $m\times n$ układu (UR) przez rozszerzenie macierzy $A$ o kolumnę wyrazów wolnych:
$U=\left[\color{BrickRed}A\color{black}\vert \color{RoyalBlue}B\color{black}\right]=\left[ \begin{array}{ll} \left. \color{BrickRed}\begin{array}{llll} a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \ldots & a_{2,n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{m,1} & a_{m,2} & \ldots & a_{m,n} \end{array} \color{black}\right\vert & \color{RoyalBlue}\begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}\\ \ldots\\ b_{m} \end{array} \end{array}\color{black}\right].$
Macierz $U$ nazywamy macierzą uzupełnioną układu (UR).

Uwaga
Każdy wiersz macierzy $U$ jest zatem symbolicznym zapisem odpowiadającego mu równania układu równań (niewiadome w macierzy uzupełnionej są "schowane", ale wiadomo która kolumna odpowiada której niewiadomej). Intuicja podpowiada, że takie nie zmieniające rozwiązań operacje na równaniach znane ze szkoły, jak dodanie jednego równania do innego lub przemnożenie przez niezerową liczbę, będą zostawiały adekwatny ślad na odpowiednich wierszach macierzy uzupełnionej.

Przypomnijmy, że $\textrm{rz }A$ oznacza rząd macierzy $A$ (największy stopień niezerowego minora, potocznie mówiąc długość boku największego kwadratu o niezerowym wyznaczniku "zawartego" w macierzy $A$ ).

Twierdzenie (Kroneckera-Capellego)
Zachodzą następujące własności:

a) (UR) jest sprzeczny (brak rozwiązań), jeśli $\textrm{rz }A\neq \textrm{rz }U$

b) (UR) jest oznaczony (jedno rozwiązanie), jeśli $\textrm{rz }A=\textrm{rz }U=r=n$ (równość rzędów macierzy głównej, uzupełnionej i liczby niewiadomych)

c) (UR) jest nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań), jeśli $\textrm{rz }A=\textrm{rz }U=r<n$ i wtedy zbiór rozwiązań ma $n-r$ wymiarów (rozwiązania zależą od $n-r$ parametrów)

Uwaga
Warto zauważyć, że układy równań liniowych mogą mieć jedynie: zero rozwiązań, jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań - nie ma pośrednich przypadków.

Uwaga
Każde równanie układu (UR) jednoznacznie określa płaszczyznę (dokładniej hiperpłaszczyznę). Układ (UR) jest zatem częścią wspólną wielu płaszczyzn. Wiele płaszczyzn może się przeciąć w dokładnie jednym wspólnym punkcie, wzdłuż jednej prostej, albo mogą się nałożyć na siebie i część wspólna jest wtedy płaszczyzną. Zbiorem rozwiązań w zależności od wymiaru rozwiązania (czyli liczby $n-r$ ) jest zatem:

a) punkt, jeśli $n-r=0$ (bo punkt nie ma wymiaru)

b) prosta, jeśli $n-r=1$ (bo prosta ma tylko jeden wymiar - długość; nie posiada szerokości ani wysokości)

c) płaszczyzna, jeśli $n-r=2$ (bo po płaszczyźnie można poruszać się w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach; płaszczyzna ma długość i szerokość, zaś nie ma wysokości, grubości).

d) przestrzeń trójwymiarowa, jeśli $n-r=3$ .
Przypadki te ilustrują poniższe rysunki.

Układu równań nie posiada rozwiązań, jeśli $\textrm{rz }A\neq\textrm{rz }U$ .

Rozwiązaniem układu równań jest punkt, jeśli układ równań jest oznaczony, zatem gdy $\textrm{rz }A=\textrm{rz }U=r=n$ , co oznacza, że $n-r=0$ , zaś wymiar zero ma właśnie punkt.

W przestrzeni trójwymiarowej rozwiązaniem układu równań jest płaszczyzna lub prosta, jeśli (jak wynika z twierdzenia K-C) $\textrm{rz }A=\textrm{rz }U=r<n$ :

a) płaszczyzna, jeśli wymiar $n-r=2$

b) prosta, gdy wymiar $n-r=1$ .

Przykład
Oceńmy liczbę rozwiązań układu równań $\left\{\begin{array}{l}x+y+z+w=1\\2x-y+2z-w=-1\\x-2y+z-2w=2\end{array}\right.$ .
Macierz główna to: $\left[\color{BrickRed}\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1\\2 & -1 & 2 & -1\\1 & -2 & 1 & -2\end{array}\color{black}\right]$ , zaś macierz uzupełniona to $U=\left[\begin{array}{lc}\left.\color{BrickRed}\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1\\2 & -1 & 2 & -1\\1 & -2 & 1 & -2\end{array}\color{black}\right\vert &\color{RoyalBlue}\begin{array}{c}1\\-1\\2\end{array}\color{black}\end{array}\right]$ .
a) Sprawdźmy rząd macierzy $U$ . Największa podmacierz kwadratowa macierzy $U$ ma wymiar $3\times 3$ , więc rząd $U$ nie przekroczy $3$ . Po wykreśleniu dwóch pierwszych kolumn $U$ otrzymana macierz $\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1\\2 & -1 & -1\\1 & -2 & 2\end{array}\right]$ ma wyznacznik $\det\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1\\2 & -1 & -1\\1 & -2 & 2\end{array}\right] = 12\neq 0$ , zatem rząd $U$ wynosi $3$ (bo największy kwadrat w niej o niezerowym wyznaczniku ma bok równy 3).
b) Sprawdźmy rząd $A$ . Wszystkie możliwe kwadratowe podmacierze wymiaru $3\times 3$ macierzy $A$ są następujące: $\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1\\2 & -1 & 2\\1 & -2 & 1\end{array}\right]$ , $\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1\\2 & -1 & -1\\1 & -2 & -2\end{array}\right]$ , $\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1\\2 & 2 & -1\\1 & 1 & -2\end{array}\right]$ , $\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1\\-1 & 2 & -1\\-2 & 1 & -2\end{array}\right]$ . Wyznacznik każdej z nich wynosi zero, więc brak nieosobliwych podmacierzy wymiaru $3\times 3$ macierzy $A$ , więc rząd $A$ nie wynosi $3$ . Próżno szukać większych podmacierzy kwadratowych, więc zaczynamy szukać mniejszych. Po wykreśleniu dwóch ostatnich kolumn i ostatniego wiersza macierzy $A$ znajdujemy $\det\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\2 & -1\end{array}\right] =-3\neq 0$ , zatem rząd $A$ wynosi ostatecznie $2$ .

Otrzymaliśmy $\textrm{rz }U=3\neq 2=\textrm{rz }A$ . Twierdzenie Kroneckera-Capellego mówi, że układ równań jest sprzeczny.

Uwaga
W szkole informację, że układ równań jest sprzeczny uzyskiwało się podejmując de facto jego liczenie i dochodząc do jakiejś sprzeczności, powiedzmy w jakimś równaniu wychodziło $1=0$ . Twierdzenie Kroneckera-Capellego pozwala ocenić liczbę rozwiązań bez konieczności rozwiązywania układu równań.

Rozwiązywanie oznaczonego układu równań liniowych przy wykorzystaniu twierdzenia Cramera

Zanim przejdziemy do sformułowania twierdzenia Cramera rozważmy układ równań, w którym jest tyle samo równań ile niewiadomych (zatem macierz główna $A$ jest kwadratowa), mianowicie:
$\left\{ \begin{array}{c} \color{BrickRed}a_{1,1}\color{black}x_{1}+\color{BrickRed}a_{1,2}\color{black}x_{2}+\cdots+\color{BrickRed}a_{1,n}\color{black}x_{n}=\color{RoyalBlue}b_{1}\\\color{BrickRed}a_{2,1}\color{black}x_{1}+\color{BrickRed}a_{2,2}\color{black}x_{2}+\cdots+\color{BrickRed}a_{2,n}\color{black}x_{n}=\color{RoyalBlue}b_{2}\\\vdots\\\color{BrickRed}a_{n,1}\color{black}x_{1}+\color{BrickRed}a_{n,2}\color{black}x_{2}+\cdots+\color{BrickRed}a_{n,n}\color{black}x_{n}=\color{RoyalBlue}b_{n}\end{array}\right.$
Macierz główna to:
$\color{BrickRed}A\color{black}=\left[ \color{BrickRed} \begin{array}{llll}a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,n}\\a_{2,1} & a_{2,2} & \ldots & a_{2,n}\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\a_{n,1} & a_{n,2} & \ldots & a_{n,n} \end{array} \color{black} \right]$
zaś macierz uzupełniona to:
$U=\left[ \begin{array}{ll} \left. \color{BrickRed} \begin{array}{llll} a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \ldots & a_{2,n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n,1} & a_{n,2} & \ldots & a_{n,n} \end{array} \color{black} \right\vert & \color{RoyalBlue}\begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}\\ \ldots\\ b_{n} \end{array} \end{array}\color{black}\right]$ .

Załóżmy, że wyznacznik $\det A\neq 0$ (czyli macierz główna jest nieosobliwa).

a) Po pierwsze zauważmy, że $\textrm{rz }A=n$ (bo "największy kwadrat w niej" o niezerowym wyznaczniku to ona sama, zaś rząd to długość boku takiego kwadratu).

b) Po drugie macierz $U$ ma wymiar $n\times (n+1)$ , więc w $U$ nie zmieści się większa macierz kwadratowa niż wymiaru $n\times n$ , więc rząd $U$ nie przekracza $n$ . Natomiast $A$ jest kwadratową podmacierzą macierzy $U$ o niezerowym wyznaczniku, zatem $\textrm{rz }U=n$ .

c) Po trzecie liczba niewiadomych $x_{1},\ldots,x_{n}$ wynosi $n$ .

Na mocy twierdzenia Kroneckera-Capellego taki układ równań (który ma tyle samo równań ile niewiadomych oraz którego macierz główna jest nieosobliwa) jest oznaczony.

Po tym wstępie możemy przejść do sformułowania twierdzenia Cramera.

Twierdzenie (Wzory Cramera)
Jeśli macierz główna $A$ układu równań (UR) jest nieosobliwa (czyli (UR) jest oznaczony), to jego rozwiązanie wyraża się wzorem:
$\left\{\begin{align}x_{1}&=&\frac{\det A_{1}}{\det A}\nonumber\\x_{2}&=&\frac{\det A_{2}}{\det A}\nonumber\\\ & \vdots & \nonumber\\x_{n}&=&\frac{\det A_{n}}{\det A}\nonumber\end{align}\right.$ ,
gdzie
$A_{1}=\left[ \color{BrickRed} \begin{array}{llll}\color{RoyalBlue}b_{1}\color{black} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,n}\\\color{RoyalBlue}b_{2}\color{black} & a_{2,2} & \ldots & a_{2,n}\\\color{RoyalBlue}\ldots\color{black} & \ldots & \ldots & \ldots\\\color{RoyalBlue}b_{n}\color{black} & a_{n,2} & \ldots & a_{n,n} \end{array} \color{black} \right]$ (kolumna wyrazów wolnych zastępuje kolumnę pierwszą macierzy głównej),
$A_{2}=\left[ \color{BrickRed} \begin{array}{llll}a_{1,1} & \color{RoyalBlue}b_{1}\color{black} & \ldots & a_{1,n}\\a_{2,1} &\color{RoyalBlue}b_{2}\color{black} & \ldots & a_{2,n}\\\ldots & \color{RoyalBlue}\ldots\color{black} & \ldots & \ldots\\a_{n,1} & \color{RoyalBlue}b_{n}\color{black} & \ldots & a_{n,n} \end{array} \color{black} \right]$ (kolumna wyrazów wolnych zastępuje kolumnę drugą macierzy głównej),
i tak dalej aż do $A_{n}$ według podanego schematu.

Oznaczenie
Układy równań o nieosobliwych macierzach głównych nazywamy układami Cramera lub cramerowskimi, bo dla nich "działa" powyższe twierdzenie.

Uwaga
Widać, że gdyby macierz główna nie była nieosobliwa, mianownik we wzorach Cramera by się zerował.

Twierdzenie Cramera stosuje się do wyznaczenia tego jedynego punktu będącego rozwiązaniem - powtórzmy jeszcze raz: tylko dla układów oznaczonych.

Uwaga
Gdy rozpatrujemy niewielką liczbę niewiadomych, często zamiast stosować $x_{1},x_{2},\ldots$ używa się oznaczeń $x,y,z,u,v,\ldots$ . Na przykład przy trzech niewiadomych rozwiązanie podane w twierdzeniu Cramera przyjęłoby postać:
$\left\{\begin{align}x&=&\frac{\det A_{x}}{\det A}\nonumber\\y&=&\frac{\det A_{y}}{\det A}\nonumber\\z&=&\frac{\det A_{z}}{\det A}\nonumber\end{align}\right.$

Przykład
Rozwiążmy następujący układ równań: $\left\{\begin{array}{l}x+y-z=1\\2x+y-2z=0\\x-y+2z=2\end{array}\right.$
Macierz główna to: $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\2 & 1 & -2\\1 & -1 & 2\end{array}\right]$ , zaś kolumna wyrazów wolnych to $B=\left[\begin{array}{c}1\\0\\2\end{array}\right]$ .
Najpierw stwierdzamy, że $\det A=-3$ , więc jest nieosobliwa, czyli układ jest cramerowski (zatem oznaczony). Zapisujemy macierze:
$A_{1}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\0 & 1 & -2\\2 & -1 & 2\end{array}\right]$
$A_{2}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\2 & 0 & -2\\1 & 2 & 2\end{array}\right]$
$A_{3}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1\\2 & 1 & 0\\1 & -1 & 2\end{array}\right]$ .
Otrzymujemy rozwiązanie:
$\left\{ \begin{align} x=\frac{\det \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1\\ 0 & 1 & -2\\ 2 & -1 & 2 \end{array}\right]}{-3}=\frac{2}{3} \nonumber \\ y=\frac{\det \left[ \begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\ 2 & 0 & -2\\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right]}{-3}=2 \nonumber \\ z=\frac{\det \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 2 \end{array}\right]}{-3}=\frac{5}{3} \nonumber \end{align} \right.$

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Algorytm rozwiązywania układów równań liniowych

Uwaga
W praktyce aby szybciej ocenić rzędy macierzy, stosuje się metodę eliminacji Gaussa, zastosowaną do macierzy uzupełnionej $U$ (macierz $A$ jest podmacierzą $U$ , więc wykonując eliminację na macierzy $U$ , ślad działań widoczny jest na macierzy $A$ - wystarczy usunąć ostatnią kolumnę eliminowanej macierzy $U$ i otrzymamy eliminowaną macierz $A$ ).

Uwaga
Przypominamy, że przekształcenia elementarne macierzy (wykorzystywane przy eliminacji Gaussa):

a) przestawienie dwóch wierszy

b) pomnożenie wiersza przez stałą różną od zera

c) dodanie do wiersza innych wierszy pomnożonych przez dowolne stałe (dodanie mieszanki innych wierszy)

d) usunięcie wiersza złożonego z samych zer
nie zmieniają rzędu przekształcanej macierzy.

Uwaga
Układ równań rozwiązywać będziemy zgodnie z poniższą procedurą:

a) metodą eliminacji Gaussa usuniemy zbędne równania (duplikaty lub "mieszkanki" pozostałych) oraz wyznaczymy rząd $U$ i rząd $A$ , co pozwoli ocenić liczbę rozwiązań, stosując twierdzenie Kroneckera-Capellego. W zależności od liczby rozwiązań, mamy kilka możliwości:
- jeśli układ będzie sprzeczny, zakończymy w tym miejscu rozwiązywanie
- jeśli układ będzie nieoznaczony, przejdziemy do b)
- jeśli układ będzie oznaczony, przejdziemy od razu do c)

b) nadliczbową (ponad liczbę równań) część niewiadomych będziemy traktować jako parametry i przeniesiemy je na prawą stronę układu równań, jakby to były wyrazy wolne - poprzez zmniejszenie liczby niewiadomych otrzymamy z układu nieoznaczonego układ cramerowski (oznaczony) - tak zwany zredukowany układ równań (ZUR)

c) układ oznaczony rozwiążemy wzorami Cramera, ewentualnie podając na tej podstawie rozwiązanie układu nieoznaczonego.

Przykłady

Przykład
Rozwiązać układ równań $\left\{\begin{array}{cccccc}-2x&+y&-3z&+u&=&1\\x&-3y&+2z&+2u&=&0\\3x&+3y&-z&-u&=&2\\-2x&-y&+2z&-2u&=&-3\end{array}\right.$
Rozwiązanie:
Macierz główna to $A=\left[\color{BrickRed}\begin{array}{cccc}-2&1&-3&1\\1&-3&2&2\\3&3&-1&-1\\-2&-1&2&-2\end{array}\color{black}\right]$ . Macierz uzupełniona to $U=\left[\color{BrickRed}\begin{array}{ccccc}-2&1&-3&1&\color{RoyalBlue}1\\1&-3&2&2&\color{RoyalBlue}0\\3&3&-1&-1&\color{RoyalBlue}2\\-2&-1&2&-2&\color{RoyalBlue}-3\end{array}\color{black}\right]$ .

a) dokonujemy eliminacji Gaussa macierzy $U$ (pamiętając, że po zasłonięciu ostatniej kolumny jednocześnie eliminujemy $A$ , więc liczenie osobno $A$ byłoby stratą czasu):
$U=\left[\color{BrickRed}\begin{array}{ccccc}-2&1&-3&1&\color{RoyalBlue}1\\1&-3&2&2&\color{RoyalBlue}0\\3&3&-1&-1&\color{RoyalBlue}2\\-2&-1&2&-2&\color{RoyalBlue}-3\end{array}\color{black}\right]\cong$ {zamieniamy miejscami wiersz pierwszy z drugim, aby mieć jedynkę w lewym górnym rogu, przez co będzie mniej ułamków do liczenia} $\left\{\begin{array}{l} w_{1} \to w_{2} \\ w_{2} \to w_{1} \\ w_{3} \to w_{3} \\ w_{4} \to w_{4} \end{array}\right\}$ $\cong\left[\color{BrickRed}\begin{array}{ccccc}1&-3&2&2&\color{RoyalBlue}0\\-2&1&-3&1&\color{RoyalBlue}1\\3&3&-1&-1&\color{RoyalBlue}2\\-2&-1&2&-2&\color{RoyalBlue}-3\end{array}\color{black}\right]\cong$ {eliminujemy pierwszą kolumnę pod "przekątną"} $\left\{\begin{array}{l} w_{1} \to w_{1} \\ w_{2} \to \color{RoyalBlue}{\boxed{w_{2}}}+\color{YellowOrange}{\boxed{2}} \color{black} \cdot \color{BrickRed}{\boxed{w_{1}}} \\ w_{3} \to \color{RoyalBlue}{\boxed{w_{3}}}+\color{YellowOrange}{\boxed{-3}} \color{black} \cdot \color{BrickRed}{\boxed{w_{1}}} \\ w_{4} \to \color{RoyalBlue}{\boxed{w_{4}}}+\color{YellowOrange}{\boxed{2}} \color{black} \cdot \color{BrickRed}{\boxed{w_{1}}} \end{array}\right\}$ $\cong\left[\color{BrickRed}\begin{array}{ccccc}1&-3&2&2&\color{RoyalBlue}0\\0&-5&1&5&\color{RoyalBlue}1\\0&12&-7&-7&\color{RoyalBlue}2\\0&-7&6&2&\color{RoyalBlue}-3\end{array}\color{black}\right]\cong$ {eliminujemy drugą kolumnę pod "przekątną"} $\left\{\begin{array}{l} w_{1} \to w_{1} \\ w_{2} \to w_{2} \\ w_{3} \to \color{RoyalBlue}{\boxed{w_{3}}}+\color{YellowOrange}{\boxed{\frac{12}{5}}} \color{black} \cdot \color{BrickRed}{\boxed{w_{2}}} \\ w_{4} \to \color{RoyalBlue}{\boxed{w_{4}}}+\color{YellowOrange}{\boxed{-\frac{7}{5}}} \color{black} \cdot \color{BrickRed}{\boxed{w_{2}}} \end{array}\right\}$ $\cong\left[\color{BrickRed}\begin{array}{ccccc}1&-3&2&2&\color{RoyalBlue}0\\0&-5&1&5&\color{RoyalBlue}1\\0&0&-\frac{23}{5}&5&\color{RoyalBlue}\frac{22}{5}\\0&0&\frac{23}{5}&-5&\color{RoyalBlue}-\frac{22}{5}\end{array}\color{black}\right]\cong$ {eliminujemy trzecią kolumnę pod "przekątną"} $\left\{\begin{array}{l} w_{1} \to w_{1} \\ w_{2} \to w_{2} \\ w_{3} \to w_{3} \\ w_{4} \to \color{RoyalBlue}{\boxed{w_{4}}}+\color{YellowOrange}{\boxed{1}} \color{black} \cdot \color{BrickRed}{\boxed{w_{3}}} \end{array}\right\}$ $\cong\left[\color{BrickRed}\begin{array}{ccccc}1&-3&2&2&\color{RoyalBlue}2\\0&-5&1&5&\color{RoyalBlue}5\\0&0&-\frac{23}{12}&5&\color{RoyalBlue}5\\0&0&0&0&\color{RoyalBlue}0\end{array}\color{black}\right]$ {usuwamy wiersz zerowy (odpowiada to równaniu $0x+0y+0z+0u=0$ , które nic nie wnosi do zadania)} $\cong\left[\color{BrickRed}\begin{array}{ccccc}1&-3&2&2&\color{RoyalBlue}2\\0&-5&1&5&\color{RoyalBlue}5\\0&0&-\frac{23}{12}&5&\color{RoyalBlue}5\end{array}\color{black}\right]$ .

Uzyskana zredukowana macierz $U$ zawiera podmacierz $3\times 3$ o niezerowym wyznaczniku (dla macierzy górnotrójkątnej jej wyznacznik jest równy iloczynowi wyrazów na przekątnej głównej)
$U\cong\left[\begin{array}{cc}\color{PineGreen}\left[\begin{array}{ccc}1&-3&2\\0&-5&1\\0&0&-\frac{23}{12}\end{array}\right]&\begin{array}{cc}2&\color{RoyalBlue}2\\5&\color{RoyalBlue}5\\5&\color{RoyalBlue}5\end{array}\end{array}\right]$ . Skoro $\det\color{PineGreen}\left[\begin{array}{ccc}1&-3&2\\0&-5&1\\0&0&-\frac{23}{12}\end{array}\right]$ $=\frac{115}{12}\neq 0$ , to $\textrm{rz }U=3$ .

Zredukowaną macierz $A$ otrzymujemy poprzez zasłonięcie ostatniej kolumny zredukowanej macierzy $U$ , mianowicie $A\cong\left[\color{BrickRed}\begin{array}{cccc}1&-3&2&2\\0&-5&1&5\\0&0&-\frac{23}{12}&5\end{array}\color{black}\right]$ . Ona również zawiera podmacierz $3\times 3$ o niezerowym wyznaczniku, chociażby tę samą, którą wskazaliśmy w macierzy $U$ , mianowicie
$A\cong\left[\begin{array}{cc}\color{PineGreen}\left[\begin{array}{ccc}1&-3&2\\0&-5&1\\0&0&-\frac{23}{12}\end{array}\right]&\begin{array}{c}2\\5\\5\end{array}\end{array}\right]$ . To pokazuje, że $\textrm{rz }A=3$ ("bo większego kwadratu o niezerowym wyznaczniku nie znajdziemy").

Rzędy są sobie równe ( $\textrm{rz }A=3=\textrm{rz }U$ ), ale mniejsze od liczby niewiadomych ( $n=4$ ), więc z twierdzenia Kroneckera-Capellego układ (UR) jest nieoznaczony, zaś jego rozwiązania zależą od $n-r=4-3=1$ parametru.

b) Utworzymy teraz zredukowany układ równań (ZUR). Zauważmy najpierw, że układ równań, który reprezentowany jest przez macierz zredukowaną $U\cong\left[\begin{array}{cc}\color{PineGreen}\left[\begin{array}{ccc}1&-3&2\\0&-5&1\\0&0&-\frac{23}{12}\end{array}\right]&\begin{array}{cc}2&\color{RoyalBlue}2\\5&\color{RoyalBlue}5\\5&\color{RoyalBlue}5\end{array}\end{array}\right]$ jest następujący: $\left\{\begin{array}{cccccc}\color{PineGreen}x&\color{PineGreen}-3y&\color{PineGreen}+2z&+2u&=&2\\&\color{PineGreen}-5y&\color{PineGreen}+z&+5u&=&5\\&&\color{PineGreen}-\frac{23}{12}z&+5u&=&5\end{array}\right.$ .
Następnie wszystkie niewiadome (w tym zadaniu $x,y,z$ ), których współczynniki znajdują się w zielonej podmacierzy macierzy zredukowanej, zostają po lewej stronie, a pozostałe niewiadome (w tym zadaniu tylko $u$ ) przenosimy na prawą stronę i traktujemy od teraz jako parametry. Otrzymujemy $\left\{\begin{array}{ccccc}\color{PineGreen}x&\color{PineGreen}-3y&\color{PineGreen}+2z&=&2-2u\\&\color{PineGreen}-5y&\color{PineGreen}+z&=&5-5u\\&&\color{PineGreen}-\frac{23}{12}z&=&5-5u\end{array}\right.$ ,
aby jednak podkreślić, że $u$ jest parametrem, oznaczymy go jako $t$ (dla parametrów zwyczajowo stosuje się litery $s$ , $t$ lub greckie $\alpha$ , $\beta$ , $\lambda$ , $\mu$ , itd.). Po tych operacjach otrzymujemy zredukowany układ równań
$(ZUR)\left\{\begin{array}{ccccc}x&-3y&+2z&=&2-2t\\&-5y&+z&=&5-5t\\&&-\frac{23}{12}z&=&5-5t\end{array}\right.$
Gdyby ponownie próbować ocenić liczbę rozwiązań, doszlibyśmy do wniosku, że macierz główna układu zredukowanego $A^{ZUR}=\left[\begin{array}{ccc}1&-3&2\\0&-5&1\\0&0&-\frac{23}{12}\end{array}\right]$ jest nieosobliwa, zatem rząd macierzy głównej i uzupełnionej wynoszą $3$ - tyle samo ile liczba niewiadomych (w zredukowanym układzie równań są tylko trzy niewiadome po lewej stronie). Twierdzenie Kroneckera-Capellego mówi, że (ZUR) jest układem oznaczonym, co już wiedzieliśmy wcześniej, bo (ZUR) zawsze ma nieosobliwą macierz główną, zatem jest układem cramerowskim.

c) Znajdziemy rozwiązanie (ZUR) wykorzystując wzory Cramera. Tworzymy macierze $A^{ZUR}_{x}$ , $A^{ZUR}_{y}$ , $A^{ZUR}_{z}$ , zastępując kolejne kolumny kolumną wyrazów wolnych. Otrzymujemy
$A^{ZUR}_{x}=\left[\begin{array}{ccc}(2-2t)&-3&2\\(5-5t)&-5&1\\(5-5t)&0&-\frac{23}{12}\end{array}\right]$ ,
$A^{ZUR}_{y}=\left[\begin{array}{ccc}1&(2-2t)&2\\0&(5-5t)&1\\0&(5-5t)&-\frac{23}{12}\end{array}\right]$ ,
$A^{ZUR}_{z}=\left[\begin{array}{ccc}1&-3&(2-2t)\\0&-5&(5-5t)\\0&0&(5-5t)\end{array}\right]$ .
Wzory Cramera dają nam rozwiązanie (ZUR)
$\left\{\begin{align}x&=&\frac{\det A^{ZUR}_{x}}{\det A^{ZUR}}\nonumber\\y&=&\frac{\det A^{ZUR}_{y}}{\det A^{ZUR}}\nonumber\\z&=&\frac{\det A^{ZUR}_{z}}{\det A^{ZUR}}\nonumber\end{align}\right.$ $=\left\{\begin{align}x&=&\frac{\frac{-305t+305}{12}}{\frac{115}{12}}\nonumber\\y&=&\frac{\frac{175t-175}{12}}{\frac{115}{12}}\nonumber\\z&=&\frac{25t-25}{\frac{115}{12}}\nonumber\end{align}\right.$ $=\left\{\begin{align}x&=&\frac{-305t+305}{115}\nonumber\\y&=&\frac{175t-175}{115}\nonumber\\z&=&\frac{300t-300}{115}\nonumber\end{align}\right.$
Nie zapominajmy jednak, że poleceniem zadania było rozwiązanie układu (UR), dlatego dołączamy brakującą niewiadomą, otrzymując rozwiązanie (UR):
$=\left\{\begin{align}x=\frac{-305t+305}{115}\nonumber\\y=\frac{175t-175}{115}\nonumber\\z=\frac{300t-300}{115}\nonumber\\u=t\nonumber\end{align}\right.,\quad t\in\mathbb{R}\nonumber$ $=\left\{\begin{align}x=\color{BrickRed}-\frac{305}{115}\color{black}t+\color{RoyalBlue}\frac{305}{115}\color{black}\nonumber\\y=\color{BrickRed}\frac{175}{115}\color{black}t\color{RoyalBlue}-\frac{175}{115}\color{black}\nonumber\\z=\color{BrickRed}\frac{300}{115}t\color{RoyalBlue}-\frac{300}{115}\color{black}\nonumber\\u=\color{BrickRed}1\color{black}\cdot t+\color{RoyalBlue}0\color{black}\nonumber\end{align}\right.,\quad t\in\mathbb{R}\nonumber$ {co można zapisać jako } $=\left\{(\color{BrickRed}-\frac{305}{115}\color{black}t+\color{RoyalBlue}\frac{305}{115}\color{black}, \color{BrickRed}\frac{175}{115}\color{black}t\color{RoyalBlue}-\frac{175}{115}\color{black}, \color{BrickRed}\frac{300}{115}\color{black}t\color{RoyalBlue}-\frac{300}{115}\color{black}, \color{BrickRed}1\color{black}\cdot t+\color{RoyalBlue}0\color{black})\right\}_{t\in\mathbb{R}}$ $=\left\{\color{BrickRed}[-\frac{305}{115}, \frac{175}{115}, \frac{300}{115}, 1]\color{black}\cdot t+\color{RoyalBlue}\left(\frac{305}{115}, -\frac{175}{115}, -\frac{300}{115}, 0\right)\color{black}\right\}_{t\in\mathbb{R}}$ .

Podsumowując: rozwiązaniem układu równań (UR) jest prosta, której punkt zaczepienia to $\color{RoyalBlue}P=\left(\frac{305}{115}, -\frac{175}{115}, -\frac{300}{115}, 0\right)$ , zaś wektor kierunkowy to $\color{BrickRed}\overrightarrow{v}=[-\frac{305}{115}, \frac{175}{115}, \frac{300}{115}, 1]\color{black}$ .

Przykład
Rozwiązać układ równań $\left\{\begin{array}{cccccc}x&-2y&+3z&-u&=&-1\\-x&+3y&+z&+2u&=&0\\2x&+y&+2z&+u&=&-4\\-2x&-2y&-6z&-2u&=&3\end{array}\right.$
Rozwiązanie:
Macierz główna to $A=\left[\color{BrickRed}\begin{array}{cccc}1&-2&3&-1\\-1&3&1&2\\2&1&2&1\\-2&-2&-6&-2\end{array}\color{black}\right]$ . Macierz uzupełniona to $U=\left[\color{BrickRed}\begin{array}{ccccc}1&-2&3&-1&\color{RoyalBlue}-1\\-1&3&1&2&\color{RoyalBlue}0\\2&1&2&1&\color{RoyalBlue}-4\\-2&-2&-6&-2&\color{RoyalBlue}3\end{array}\color{black}\right]$ .

a) dokonujemy eliminacji Gaussa macierzy $U$ :
$U=\left[\color{BrickRed}\begin{array}{ccccc}1&-2&3&-1&\color{RoyalBlue}-1\\-1&3&1&2&\color{RoyalBlue}0\\2&1&2&1&\color{RoyalBlue}-4\\-2&-2&-6&-2&\color{RoyalBlue}3\end{array}\color{black}\right]\cong$ {eliminujemy pierwszą kolumnę pod "przekątną"} $\left\{\begin{array}{l} w_{1} \to w_{1} \\ w_{2} \to \color{RoyalBlue}{\boxed{w_{2}}}+\color{YellowOrange}{\boxed{1}} \color{black} \cdot \color{BrickRed}{\boxed{w_{1}}} \\ w_{3} \to \color{RoyalBlue}{\boxed{w_{3}}}+\color{YellowOrange}{\boxed{-2}} \color{black} \cdot \color{BrickRed}{\boxed{w_{1}}} \\ w_{4} \to \color{RoyalBlue}{\boxed{w_{4}}}+\color{YellowOrange}{\boxed{2}} \color{black} \cdot \color{BrickRed}{\boxed{w_{1}}} \end{array}\right\}$ $\cong\left[\color{BrickRed}\begin{array}{ccccc}1&-2&3&-1&\color{RoyalBlue}-1\\0&1&4&1&\color{RoyalBlue}-1\\0&5&-4&3&\color{RoyalBlue}-2\\0&-6&0&-4&\color{RoyalBlue}1\end{array}\color{black}\right]\cong$ {eliminujemy drugą kolumnę pod "przekątną"} $\left\{\begin{array}{l} w_{1} \to w_{1} \\ w_{2} \to w_{2} \\ w_{3} \to \color{RoyalBlue}{\boxed{w_{3}}}+\color{YellowOrange}{\boxed{-5}} \color{black} \cdot \color{BrickRed}{\boxed{w_{2}}} \\ w_{4} \to \color{RoyalBlue}{\boxed{w_{4}}}+\color{YellowOrange}{\boxed{6}} \color{black} \cdot \color{BrickRed}{\boxed{w_{2}}} \end{array}\right\}$ $\cong\left[\color{BrickRed}\begin{array}{ccccc}1&-2&3&-1&\color{RoyalBlue}-1\\0&1&4&1&\color{RoyalBlue}-1\\0&0&-24&-2&\color{RoyalBlue}3\\0&0&24&2&\color{RoyalBlue}-5\end{array}\color{black}\right]\cong$ {eliminujemy trzecią kolumnę pod "przekątną"} $\left\{\begin{array}{l} w_{1} \to w_{1} \\ w_{2} \to w_{2} \\ w_{3} \to w_{3} \\ w_{4} \to \color{RoyalBlue}{\boxed{w_{4}}}+\color{YellowOrange}{\boxed{1}} \color{black} \cdot \color{BrickRed}{\boxed{w_{3}}} \end{array}\right\}$ $\cong\left[\color{BrickRed}\begin{array}{ccccc}1&-2&3&-1&\color{RoyalBlue}-1\\0&1&4&1&\color{RoyalBlue}-1\\0&0&-24&-2&\color{RoyalBlue}3\\0&0&0&0&\color{RoyalBlue}-2\end{array}\color{black}\right]$ .
W zredukowanej macierzy $A\cong\left[\color{BrickRed}\begin{array}{cccc}1&-2&3&-1\\0&1&4&1\\0&0&-24&-2\\0&0&0&0\end{array}\color{black}\right]$ nie ma minora niezerowego stopnia $4$ , bo jej wyznacznik jest zerowy. Istnieje za to podmacierz wymiaru $3\times 3$ o niezerowym wyznaczniku (czyli istnieje niezerowy minor stopnia $3$ ), na przykład $\left[\color{BrickRed}\begin{array}{ccc}1&-2&3\\0&1&4\\0&0&-24\end{array}\color{black}\right]$ , zatem $\textrm{rz }A=3$ .
W zredukowanej macierzy $U\cong\left[\color{BrickRed}\begin{array}{ccccc}1&-2&3&-1&\color{RoyalBlue}-1\\0&1&4&1&\color{RoyalBlue}-1\\0&0&-24&-2&\color{RoyalBlue}3\\0&0&0&0&\color{RoyalBlue}-2\end{array}\color{black}\right]$ , po wykreśleniu kolumny czwartej, możemy znaleźć macierz $4\times 4$ o niezerowym wyznaczniku $\det\left[\color{BrickRed}\begin{array}{ccccc}1&-2&3&\color{RoyalBlue}-1\\0&1&4&\color{RoyalBlue}-1\\0&0&-24&\color{RoyalBlue}3\\0&0&0&\color{RoyalBlue}-2\end{array}\color{black}\right]\neq 0$ (łatwo to widać, bo jest górnotrójkątna). Zatem $\textrm{rz }U=4$ . Twierdzenie Kroneckera-Capellego mówi, że układ (UR) jest sprzeczny.

Uwaga: Ostatni wiersz $\left[\color{BrickRed}\begin{array}{ccccc}0&0&0&0&\color{RoyalBlue}-2\end{array}\color{black}\right]$ "ukrywa" równanie $\color{BrickRed}0x+0y+0z+0u\color{black}=\color{RoyalBlue}-2$ , co zawczasu sygnalizuje nam sprzeczność, ale traktujmy to jako przewidywanie, które należy umieć uzasadnić przy użyciu rzędów macierzy.

Uwaga
W przypadku układów oznaczonych parametrów nie ma (bo $n-r=0$ ). Nic nie przenosimy na prawą stronę, tylko od razu przechodzimy do wzorów Cramera.

Uwaga
Powyższa metoda jest uniwersalna - nie czyni różnicy ile układ równań ma równań ani ile ma niewiadomych - rzędy macierzy można sprawdzać dla macierzy dowolnego wymiaru.

dostęp do własnych plusów, ocen, obecności i materiałów dydaktycznych po zalogowaniu

6 ms - 33064 wyświetleń