mathic.com: Krzysztof Wesołowski - Kurs: [30h] Matematyka - Zajęcia: Wykład 11 - Geometria analityczna (wektory, iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany)

Kurs: [30h] Matematyka - Wykład

Temat: Wykład 11 - Geometria analityczna (wektory, iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany)

Data zajęć: 2019-12-20

Ogłoszenia: 9:15-10:45

Treść zajęć

Geometria analityczna

Wektory w przestrzeni $\mathbb{R}^{3}$

Definicja
Wektorem o początku $A=(x_{A},y_{A},z_{A})$ i końcu $B=(x_{B},y_{B},z_{B})$ nazywamy "trojkę" liczb $[x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A},z_{B}-z_{A}]$ i oznaczamy symbolem $\overrightarrow{AB}$ .

Dwa punkty wyznaczają dwa wektory tego samego kierunku i długości, o przeciwnych zwrotach:
$\overrightarrow{AB}=[x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A},z_{B}-z_{A}]$
oraz
$\overrightarrow{BA}=[x_{A}-x_{B},y_{A}-y_{B},z_{A}-z_{B}]$ ,
co zapisujemy $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ .

Przykład
Zauważmy, że $\overrightarrow{(2,4,1),(0,1,4)} = [-2,-3,3]$ oraz $\overrightarrow{(5,7,4),(3,4,7)} = [-2,-3,3]$ co oznacza, że wektor między różnymi parami punktów może mieć takie same współrzędne. Na podstawie zapisu $[-2,-3,3]$ nie jesteśmy w stanie odtworzyć jakie były punkty początkowy i końcowy.

Uwaga
Zapis $\overrightarrow{v}=[v_{x},v_{y},v_{z}]$ nie zdradza co jest punktem początkowym a co końcowym, a raczej obejmuje całą klasę wektorów między różnymi parami punktów, dlatego wektor w takiej postaci nazywamy swobodnym (można sobie wyobrazić, że możemy go przesuwać, ale nie możemy przekręcać albo zmieniać długości).

Definicja (Wektor przeciwny)
Wektorem przeciwnym do wektora $\overrightarrow{v}=[v_{x},v_{y},v_{z}] \in \mathbb{R}^{3}$ nazywamy - oznaczany przez $-\overrightarrow{v}$ wektor $-\overrightarrow{v}=[-v_{x},-v_{y},-v_{z}]$ .

Definicja (Wektor zerowy)
Wektorem zerowym nazywamy wektor $\overrightarrow{0}=[0,0,0]$ .

Komentarz
Samo zdefiniowanie wektorów w trójwymiarowej przestrzeni jest mało ciekawe - zrobi się ciekawsze dopiero, gdy z tym wektorami będzie można "coś ciekawego zrobić". Dlatego określimy teraz działania na wektorach.

Definicja (Suma wektorów)
Sumą wektorów $\overrightarrow{v}=[v_{x},v_{y},v_{z}]$ i $\overrightarrow{w}=[w_{x},w_{y},w_{z}]$ , oznaczaną jako $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}$ określamy wektor $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=[v_{x}+w_{x},v_{y}+w_{y},v_{z}+w_{z}]$ .

Uwaga
Geometrycznie wektor $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}$ jest ich wypadkową, to znaczy przekątną równoległoboku o bokach $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ .

Definicja (Różnica wektorów)
Różnicą wektorów $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ , oznaczaną poprzez $\overrightarrow{v}-\overrightarrow{w}$ nazywamy wektor $\overrightarrow{v}-\overrightarrow{w}=\overrightarrow{v}+(-\overrightarrow{w})$ , gdzie $-\overrightarrow{w}$ jest wektorem przeciwnym do $\overrightarrow{w}$ .

Definicja (Iloczyn wektora przez liczbę)
Iloczynem wektora $\overrightarrow{v}=[v_{x},v_{y},v_{z}]$ przez liczbę $c$ nazywamy wektor $c\cdot\overrightarrow{v}=[c\cdot v_{x},c\cdot v_{y},c\cdot v_{z}]$ .

Na rysunku zilustrowane jest działanie dodawania dwóch wektorów (wypadkowa $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ ) oraz mnożenia przez liczbę: $-1\cdot \overrightarrow{v}$ jest wektorem przeciwnym do $\overrightarrow{v}$ , zaś $2\cdot \overrightarrow{v}$ jest wektorem dwukrotnie dłuższym.

Twierdzenie (Własności dodawania wektorów)
Niech $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ , $\overrightarrow{w}$ będą dowolnymi wektorami. Działanie dodawania wektorów ma następujące własności

a) $\overrightarrow{u}+(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})+\overrightarrow{w}$ (łączność dodawania)

b) $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ (przemienność dodawania)

c) $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}$ (to oznacza, że wektor $\overrightarrow{0}$ jest elementem neutralnym dodawania)

d) $\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$ (to oznacza, że do każdego wektora istnieje wektor przeciwny)

Twierdzenie (Własności mnożenia wektora przez liczbę)
Niech $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$ będą dowolnymi wektorami oraz niech $c,d \in \mathbb{R}$ . Działanie mnożenia wektorów przez liczbę ma następujące własności:

a) $c \cdot(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})= c \cdot \overrightarrow{u}+ c\cdot \overrightarrow{v}$ (rozdzielność mnożenia przez liczbę względem dodawania wektorów)

b) $(c+d)\cdot \overrightarrow{u}=c \cdot \overrightarrow{u}+d \cdot \overrightarrow{u}$ (rozdzielność mnożenia przez liczbę względem dodawania liczb)

c) $0 \cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$

d) $1 \cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}$ (liczba 1 jest elementem neutralnym mnożenia wektora przez liczbę)

Definicja (Długość wektora)
Z każdym wektorem $\overrightarrow{v}=[v_{x},v_{y},v_{z}]$ można skojarzyć liczbę rzeczywistą nieujemną, oznaczaną $\left\Vert\overrightarrow{v}\right\Vert$ , która wyrażać będzie jego długość. Określa się ją wzorem $\left\Vert\overrightarrow{v}\right\Vert=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}$ . Symbol $\left\Vert\overrightarrow{v}\right\Vert$ nazywa się normą lub długością wektora $\overrightarrow{v}$ .

Twierdzenie (Własności długości wektora)
Niech $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ będą dowolnymi wektorami w $\mathbb{R}^{3}$ oraz niech $c \in \mathbb{R}$ . Wówczas:

a) $\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert =0\Leftrightarrow \overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ (własność oznaczoności - jedynym wektorem długości zero jest wektor zerowy)

b) $\left\Vert c\cdot\overrightarrow{v}\right\Vert =\left\vert c\right\vert \cdot\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert$ (własność bezwzględej jednorodności)

c) $\left\Vert \overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right\Vert \leqslant \left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert +\left\Vert \overrightarrow {w}\right\Vert$ (własność nierówności trójkąta)

Ostatnia własność nazywa się nierównością trójkąta, co ma swoje uzasadnienie: długość każdego boku trójkąta nie przekracza sumy długości pozostałych jego boków, tzn. jeżeli wektory $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ , $\overrightarrow{w}$ tworzą trójkąt, to:
$\left\Vert \overrightarrow{u} \right\Vert \leqslant \left\Vert \overrightarrow{v} \right\Vert+ \left\Vert \overrightarrow{w} \right\Vert$
$\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert \leqslant \left\Vert \overrightarrow{w}\right\Vert+\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert$
$\left\Vert \overrightarrow{w}\right\Vert \leqslant \left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert+\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert$

Iloczyn skalarny wektorów

Definicja (Iloczyn skalarny wektorów)
Iloczynem skalarnym wektorów $\overrightarrow{u}=[u_{x},u_{y},u_{z}]$ oraz $\overrightarrow{v}=[v_{x},v_{y},v_{z}]$ nazywamy liczbę $\overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}$ określoną wzorem $\overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}:=u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}+u_{z}v_{z}$ .

Komentarz
Jak widać, iloczyn skalarny wektorów jest liczbą.

Przykład
Dla wektorów $\overrightarrow{u}=[1,2,-1]$ oraz $\overrightarrow{v}=[0,3,1]$ policzmy następujące iloczyny skalarne:
$\begin{array}{l}\overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{u}=[1,2,-1]\circ[1,2,-1]=1\cdot 1+ 2\cdot 2 + (-1)\cdot (-1) = 6,\\ \overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{v}=[0,3,1]\circ[0,3,1]=0\cdot 0+ 3\cdot 3 + 1\cdot 1 = 10,\\ \overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}=[1,2,-1]\circ[0,3,1]=1\cdot 0+ 2\cdot 3 + (-1)\cdot 1= 5.\end{array}$ .

Twierdzenie (Własności iloczynu skalarnego)
Iloczyn skalarny spełnia następujące warunki:

a) $\overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{v}\geq 0$ (dodatnia określoność $\overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{v}$ )

b) $\overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{v}=0 \Leftrightarrow \overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ (oznaczoność)

c) $\overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{w}=\overrightarrow{w}\circ\overrightarrow{v}$ (przemienność iloczynu skalarnego)

d) $\overrightarrow{v}\circ\left(\overrightarrow{w_{1}}+\overrightarrow{w_{2}}\right) =\left(\overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{w_{1}}\right) +\left(\overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{w_{2}}\right)$ (rozdzielność iloczynu skalarnego względem dodawania wektorów)

e) $c\cdot\left(\overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{w}\right) =\left(c\cdot\overrightarrow{v}\right)\circ\overrightarrow{w}=\overrightarrow{v}\circ\left(c\cdot\overrightarrow{w}\right)$ (jednorodność mnożenia przez liczbę)

f) $\overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{v}=\left\Vert\overrightarrow{v}\right\Vert^{2}$ (iloczyn skalarny wektora z samym sobą jest równy kwadratowi długości tego wektora)

Ponieważ rozważane wektory są swobodne, możemy tak je przesunąć, aby miały wspólny początek, a następnie możemy rozważyć kąt między nimi. Może to być zarówno kąt wypukły $\alpha\in[0,\pi]$ jak i kąt wklęsły $2\pi-\alpha\in[\pi,2\pi]$ .

Definicja
Kątem $\measuredangle(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})$ między wektorami $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ nazywamy miarę kąta wypukłego (czyli z zakresu $[0,\pi]$ ) pomiędzy tymi wektorami po ich przesunięciu do wspólnego początku.

Twierdzenie (O związku pomiędzy iloczynem skalarnym wektorów a cosinusem kąta między nimi)
Zachodzi równość $\overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{w}=\left\Vert \overrightarrow{v} \right\Vert \cdot \left\Vert \overrightarrow{w} \right\Vert \cdot \cos\measuredangle ( \overrightarrow{v},\overrightarrow{w})$ , gdzie $\measuredangle (\overrightarrow{v},\overrightarrow{w} )\in\lbrack 0,\pi\rbrack$ to miara kąta między wektorami $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ .

Komentarz
Z powyższego wzoru możemy wyliczyć kąt $\measuredangle(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})$ między dowolnymi niezerowymi wektorami, o czym mówi poniższe twierdzenie.

Twierdzenie (Miara kąta między wektorami)
Dla niezerowych wektorów $\overrightarrow{v}$ , $\overrightarrow{w}$ miara kąta $\measuredangle(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}) \in [0,\pi]$ między nimi wyraża się wzorem $\measuredangle(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})=\arccos\frac{\overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{w}}{\left\Vert\overrightarrow{v}\right\Vert\cdot\left\Vert\overrightarrow{w}\right\Vert}$ .

Przykład
Wyznaczmy miarę kąta między wektorami $\overrightarrow{u}=[1,0,1]$ oraz $\overrightarrow{v}=[1,\sqrt{2},1]$ .
Rozwiązanie:
Mamy $\cos\measuredangle( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ $=\frac{\overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}}{\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert \left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert}$ $=\frac{[1,0,1]\circ[1,\sqrt{2},1]}{\left\Vert[1,0,1]\right\Vert\cdot\left\Vert [1,\sqrt{2},1]\right\Vert}$ $=\frac{1\cdot 1+0\cdot \sqrt{2}+1\cdot 1}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}\cdot \sqrt{1^2+\sqrt{2}^2+1^2}}$ $=\frac{2}{2\sqrt{2}}$ $=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Ostatecznie $\measuredangle( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) =\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi}{4}$ .

Zastosowanie iloczynu skalarnego do określania prostopadłości wektorów

Definicja (Ortogonalność wektorów)
Mówimy, że niezerowe wektory $\overrightarrow{v}$ , $\overrightarrow{w}$ są ortogonalne wtedy i tylko wtedy, gdy $\overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{w}=0$ .

Definicja (Prostopadłość wektorów)
Mówimy, że niezerowe wektory $\overrightarrow{v}$ , $\overrightarrow{w}$ są prostopadłe, gdy kąt między nimi jest kątem prostym.

Przykład
Dla wektorów $\overrightarrow{v}=[1,-1,2]$ oraz $\overrightarrow{w}=[2,0,-1]$ mamy $\overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{w}=1\cdot2+( -1)\cdot0+2\cdot( -1)=0$ , zatem te wektory są ortogonalne.

Komentarz
Rozważmy dwa niezerowe wektory $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ i przyjrzyjmy się wzorowi $\overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{w}=\left\Vert \overrightarrow{v} \right\Vert \cdot \left\Vert \overrightarrow{w} \right\Vert \cdot \cos\measuredangle ( \overrightarrow{v},\overrightarrow{w})$ . Skoro wektory są niezerowe, to $\left\Vert \overrightarrow{v} \right\Vert>0$ oraz $\left\Vert \overrightarrow{w} \right\Vert>0$ , a to daje następujący wniosek:

$\overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{w}$ zeruje się tylko wtedy gdy zeruje się $\cos\measuredangle ( \overrightarrow{v},\overrightarrow{w})$ .

A zatem wektory $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ są ortogonalne wtedy i tylko wtedy, gdy kąt między nimi wynosi $\measuredangle ( \overrightarrow{v},\overrightarrow{w})=\frac{\pi}{2}+k\pi$ (czyli gdy są prostopadłe).

Twierdzenie (Warunek prostopadłości wektorów)
Niezerowe wektory $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $\overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{w}=0$ . Zapisujemy wtedy $\overrightarrow{v}\bot \overrightarrow{w}$ .

Wniosek (Równoważność ortogonalności i prostopadłości niezerowych wektorów)
Ortogonalność (czyli zerowanie iloczynu skalarnego) i prostopadłość (czyli kąt prosty między wektorami) są równoważne dla niezerowych wektorów.

Iloczyn wektorowy wektorów

Definicja (Iloczyn wektorowy wektorów)
Iloczynem wektorowym wektorów $\overrightarrow{v}=\left[v_{x},v_{y},v_{z}\right]$ oraz $\overrightarrow{w}=\left[w_{x},w_{y},w_{z}\right]$ nazywamy wektor $\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}$ określony wzorem
$\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}=\left[ v_{y}w_{z}-v_{z}w_{y},v_{z}w_{x}-v_{x}w_{z},v_{x}w_{y}-v_{y}w_{x}\right]$ .

Komentarz
Jak widać, iloczyn wektorowy wektorów jest wektorem.

Uwaga
Iloczyn wektorowy można łatwiej zapamiętać, gdy zapisze się go w postaci $\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}=\det\left[\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\v_{x} & v_{y} & v_{z}\\w_{x} & w_{y} & w_{z}\end{array}\right]$ $=\left[\color{BrickRed}+\color{black}\det\left[\begin{array}{cc}v_{y} & v_{z} \\ w_{y} & w_{z}\end{array}\right], \color{RoyalBlue}-\color{black}\det\left[\begin{array}{cc}v_{x} & v_{z} \\ w_{x} & w_{z}\end{array}\right], \color{BrickRed}+\color{black}\det\left[\begin{array}{cc}v_{x} & v_{y} \\ w_{x} & w_{y}\end{array}\right]\right]$ ,
gdzie $\overrightarrow{i}=\left[1,0,0\right]$ , $\overrightarrow{j}=\left[0,1,0\right]$ , $\overrightarrow{k}=\left[0,0,1\right]$ .

Komentarz
Aby sprawnie obliczyć iloczyn wektorowy, tworzymy wektor o trzech współrzędnych:

a) na pierwszej współrzędnej: skreślamy wiersz pierwszy i kolumnę pierwszą i liczymy wyznacznik

b) na drugiej współrzędnej: skreślamy wiersz pierwszy i kolumnę drugą i liczymy wyznacznik, a następnie zmieniami jego znak

c) na trzeciej współrzędnej: skreślamy wiersz pierwszy i kolumnę trzecią i liczymy wyznacznik

Przykład
Wyznaczmy iloczyn wektorowy wektorów $\overrightarrow{v}=\left[1,0,-2\right]$ oraz $\overrightarrow{w}=\left[-1,1,1\right]$ .
Rozwiązanie:
$\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}$ $=\det\left[\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\1 & 0 & -2\\-1 & 1 & 1 \end{array}\right]$ $=\left[\color{BrickRed}+\color{black}\det\left[\begin{array}{cc}0 & -2 \\ 1 & 1\end{array}\right], \color{RoyalBlue}-\color{black}\det\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -1 & 1\end{array}\right], \color{BrickRed}+\color{black}\det\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -1 & 1\end{array}\right]\right]$ $=\left[2,1,1\right]$ .

Twierdzenie (Własności iloczynu wektorowego)
Iloczyn wektorowy ma następujące własności:

a) $\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}=-\overrightarrow{w}\times\overrightarrow{v}$ (przeciwna przemienność mnożenia wektorowego)

b) $\overrightarrow{v}\times\left( \overrightarrow{w_{1}}+\overrightarrow{w_{2}}\right) =\left( \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w_{1}}\right) +\left( \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w_{2}}\right)$ (rozdzielność mnożenia wektorowego względem dodawania wektorów)

c) $\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ (iloczyn wektorowy wektora z samym sobą jest wektorem zerowym)

d) $\alpha\cdot\left( \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}\right) =\left( \alpha\cdot\overrightarrow{v}\right) \times\overrightarrow {w}=\overrightarrow{v}\times\left(\alpha\cdot\overrightarrow{w}\right)$ (jednorodność mnożenia przez liczbę względem mnożenia wektorowego)

e) $\left(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}\right)\perp\overrightarrow{v}$ oraz $\left(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}\right)\perp\overrightarrow{w}$ (utworzony wektor $\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}$ jest prostopadły do obydwu wektorów $\overrightarrow{v}$ oraz $\overrightarrow{w}$ )

Zastosowanie iloczynu wektorowego do liczenia pola trójkąta, określania równoległości wektorów i współliniowości punktów

Komentarz
Jak zobaczyliśmy powyżej, utworzony wektor $\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}$ ma taki kierunek, że jest prostopadły to obydwu wektorów $\overrightarrow{v}$ oraz $\overrightarrow{w}$ . Możemy również zapytać jaką ma on długość. Mówi o tym poniższe twierdzenie.

Twierdzenie (O długości wektora będącego iloczynem wektorów)
Długość wektora, będącego iloczynem wektorowym, wyraża się wzorem $\left\Vert \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}\right\Vert =\left \Vert \overrightarrow{v}\right\Vert \cdot\left\Vert \overrightarrow{w}\right\Vert\cdot\sin\measuredangle ( \overrightarrow{v},\overrightarrow{w})$ , gdzie $\measuredangle (\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})\in\lbrack 0,\pi\rbrack$ jest miarą kąta między wektorami $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ .

Komentarz
W powyższym wzorze wyrażenie $\left \Vert \overrightarrow{v}\right\Vert \cdot\left\Vert \overrightarrow{w}\right\Vert\cdot\sin\measuredangle ( \overrightarrow{v},\overrightarrow{w})$ kojarzy nam się ze wzorem na pole trójkąta o bokach $\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert,\,\left\Vert \overrightarrow{w}\right\Vert$ i kątem $\alpha$ między nimi $P_{t}=\frac{1}{2}\cdot \left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert\cdot \left\Vert \overrightarrow{w}\right\Vert\cdot \sin \alpha$ . Dwukrotność tego pola stanowi pole równoległoboku. Zatem $\left\Vert \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}\right\Vert$ $=2\cdot\frac{1}{2}\cdot\left \Vert \overrightarrow{v}\right\Vert \cdot\left\Vert \overrightarrow{w}\right\Vert\cdot\sin\measuredangle ( \overrightarrow{v},\overrightarrow{w})$ $=2\cdot P_{t}$ $=P_{r}$ . Wynika stąd poniższy wniosek.

Wniosek
Iloczyn wektorowy wektorów $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ jest wektorem o długości równej polu równoległoboku rozpiętego przez wektory $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ .

Rysunek podsumowuje dwie najważniejsze własności iloczynu wektorowego $\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}$ :
a) wektor ten jest prostopadły do obudwu wektorów $\overrightarrow{v}$ oraz $\overrightarrow{w}$
b) jego długość jest równa polu równoległoboku o bokach $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ .

Wniosek
Pole trójkąta $A,B,C$ wyraża się wzorem $P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot\left\Vert \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right\Vert$ .

Przykład
Wyznaczmy pole trójkąta o wierzchołkach $A=(0,1,0)$ , $B=(1,0,1)$ , $C=(1,1,1)$ .
Rozwiązanie: Zauważmy, że dwa boki trójkąta stanowią wektory
$\overrightarrow{AB}=\left[1,-1,1\right]$ oraz $\overrightarrow{AC}=\left[1,0,1\right]$ .
Otrzymujemy $P=\frac{1}{2}\cdot\left\Vert \overrightarrow{AB}\right\Vert \cdot\left\Vert\overrightarrow{AC}\right\Vert \cdot \sin\measuredangle ( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} )$ $=\frac{1}{2}\cdot\left\Vert \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right\Vert$ $=\frac{1}{2}\cdot\left\Vert \det\left[\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\1 & -1 & 1\\1 & 0 & 1 \end{array}\right]\right\Vert$ $=\frac{1}{2}\cdot\left\Vert\left[-1,0,1\right]\right\Vert$ $=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}$ $=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Komentarz
Rozważmy dwa niezerowe wektory $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ i przyjrzyjmy się wzorowi $\left\Vert \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}\right\Vert =\left \Vert \overrightarrow{v}\right\Vert \cdot\left\Vert \overrightarrow{w}\right\Vert\cdot\sin\measuredangle ( \overrightarrow{v},\overrightarrow{w})$ . Skoro wektory są niezerowe, to $\left\Vert \overrightarrow{v} \right\Vert>0$ oraz $\left\Vert \overrightarrow{w} \right\Vert>0$ , a to daje następujący wniosek:

$\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}$ jest wektorem zerowym tylko wtedy gdy zeruje się $\sin\measuredangle ( \overrightarrow{v},\overrightarrow{w})$ .

A zatem $\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}=\overrightarrow{0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy kąt między nimi wynosi $\measuredangle ( \overrightarrow{v},\overrightarrow{w})=0+k\pi$ (czyli gdy są równoległe).

Twierdzenie (Warunek równoległości wektorów)
Niezerowe wektory $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy $\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}=\overrightarrow{0}$ . Zapisujemy wtedy $\overrightarrow{v}\parallel\overrightarrow{w}$ .

Uwaga (Warunek współliniowości punktów)
Powyższy warunek pozwala ocenić współliniowość punktów $A,B,C$ . Sa one współliniowe, jeśli wektory $\overrightarrow{AB}$ oraz $\overrightarrow{AC}$ są równoległe, a zatem wystarczy ocenić, czy $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$ .

Przykład
Sprawdźmy, czy są równoległe wektory $[2,4,-1]$ oraz $[-6,-12,3]$ . Mamy $[2,4,-1]\times[-6,-12,3]$ $=\left[\color{BrickRed}+\color{black}\det\left[\begin{array}{cc}4 & -1 \\ -12 & 3\end{array}\right], \color{RoyalBlue}-\color{black}\det\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -6 & 3\end{array}\right], \color{BrickRed}+\color{black}\det\left[\begin{array}{cc}2 & 4 \\ -6 & -12\end{array}\right]\right]$ $=[\color{BrickRed}+\color{black}(12-12), \color{RoyalBlue}-\color{black}(6-6), \color{BrickRed}+\color{black}(-24+24)]$ $=[0,0,0]$ $=\overrightarrow{0}$ , zatem wektory są równoległe.

Iloczyn mieszany wektorów

Komentarz
Nazwa "iloczyn mieszany wektorów" sugeruje, że w jego definicji wykorzystamy obydwa poznane dotychczas iloczyny wektorów: wektorowy i skalarny.

Definicja (Iloczyn mieszany)
Iloczynem mieszanym uporządkowanej trójki wektorów $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ , $\overrightarrow{w}$ nazywamy liczbę $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)$ określoną wzorem $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)=\left(\overrightarrow {u}\times\overrightarrow{v}\right) \circ\overrightarrow{w}$ .

Komentarz (Liczenie iloczynu skalarnego z definicji)
Aby wyliczyć iloczyn mieszany wedle powyższej definicji, należy najpierw policzyć iloczyn wektorowy $\overrightarrow {u}\times\overrightarrow{v}$ , a otrzymany wektor wymnożyć skalarnie z wektorem $\overrightarrow{w}$ .

Uwaga (Liczenie iloczynu skalarnego poprzez wyznacznik)
Można sprawdzić, że iloczyn mieszany wektorów można również wyrazić jako wyznacznik macierzy, której wiersze są współrzędnymi tych wektorów, mianowicie dla $\overrightarrow{u}=\left[u_{x},u_{y},u_{z}\right]$ , $\overrightarrow{v}=\left[v_{x},v_{y},v_{z}\right]$ oraz $\overrightarrow{w}=\left[w_{x},w_{y},w_{z}\right]$ wyraża się on równorzędnym wzorem $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)=\det\left[ \begin{array}{ccc} u_{x} & u_{y} & u_{z}\\v_{x} & v_{y} & v_{z}\\w_{x} & w_{y} & w_{z}\end{array}\right]$ .

Przykład
Obliczmy iloczyn mieszany wektorów $\overrightarrow{u}=\left[1,-2,-1\right]$ , $\overrightarrow{v}=\left[3,2,1\right]$ oraz $\overrightarrow{w}=\left[1,-1,0\right]$ na podstawie definicji.
Rozwiązanie: $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)$ $=\left(\overrightarrow {u}\times\overrightarrow{v}\right) \circ\overrightarrow{w}$ $=\left(\left[1,-2,-1\right]\times\left[3,2,1\right]\right) \circ\left[1,-1,0\right]$ $=\det\left[\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\1 & -2 & -1 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right] \circ\left[1,-1,0\right]$ $=\left[\color{BrickRed}+\color{black}\det\left[\begin{array}{cc} -2 & -1 \\ 2 & 1\end{array}\right], \color{RoyalBlue}-\color{black}\det\left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 3 & 1\end{array}\right], \color{BrickRed}+\color{black}\det\left[\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 3 & 2\end{array}\right]\right] \circ\left[1,-1,0\right]$ $=\left[0,-4,8\right] \circ\left[1,-1,0\right]$ $=0\cdot 1+(-4)\cdot (-1)+8\cdot 0$ $=4$ .

Przykład
Obliczmy iloczyn mieszany tych samych wektorów $\overrightarrow{u}=\left[1,-2,-1\right]$ , $\overrightarrow{v}=\left[3,2,1\right]$ oraz $\overrightarrow{w}=\left[1,-1,0\right]$ poprzez wyznacznik.
Rozwiązanie: $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)$ $=\det\left[ \begin{array}{ccc} 1 & -2 & -1\\ 3 & 2 & 1\\ 1 & -1 & 0\end{array}\right]$ $=4$ .

Twierdzenie (Własności iloczynu mieszanego)
Iloczyn mieszany spełnia dla dowolnych wektorów $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ , $\overrightarrow{w}$ i dowolnej liczby $c\in\mathbb{R}$ następujące warunki:

a) $\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)$ $=-\left( \overrightarrow{v},\overrightarrow{u},\overrightarrow{w}\right)$ $=\left( \overrightarrow{v},\overrightarrow{w},\overrightarrow{u}\right)$ (zamiana dwóch wektorów miejscami zmienia znak iloczynu mieszanego)

b) $c\cdot\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)$ $=\left( c\cdot\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)$ $=\left( \overrightarrow{u},c\cdot\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)$ $=\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},c\cdot\overrightarrow{w}\right)$ (domnożenie stałej do iloczynu mieszanego jest równe domnożeniu jej do dowolnego wektora)

c) $\left\vert \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) \right\vert \leqslant \left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert \cdot\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert \cdot\left\Vert\overrightarrow{w}\right\Vert$ (wartość bezwzlędna z iloczynu mieszanego nie przekracza iloczynu długości wektorów)

Zastosowanie iloczynu mieszanego do liczenia objętości pewnych brył oraz odległości punktu od płaszczyzny

Ustalimy teraz ile razy objętość równoległościanu jest większa od objętości czworościanu o takich samych krawędziach.

a) Niech $P$ będzie polem podstawy równoległościanu (z lewej), zaś $H$ jego wysokością. Jego objętość $V_{r} = P\cdot H$ .

b) Zauważmy teraz, że podstawa czworościanu (z prawej) jest dwukrotnie mniejsza (trójkąt zamiast równoległoboku), zaś wysokość jest taka sama. Ponieważ jest to ostrosłup, więc musimy domnożyć stałą $\frac{1}{3}$ . Objętość czworościanu wynosi zatem $V_{c}=\frac{1}{3}\cdot(\frac{1}{2}P)\cdot H$ .

Wniosek
Objętość czworościanu jest sześciokrotnie mniejsza od objętości równoległościanu o takich samych krawędziach.

Objętości powyższych brył można obliczyć poprzez iloczyn mieszany, o czym mówi poniższe twierdzenie.

Twierdzenie (Objętość równoległościanu poprzez iloczyn mieszany)
Objętość $V_{r}$ równoległościanu rozpiętego przez wektory $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ , $\overrightarrow{w}$ wyraża się wzorem $V_{r}=\left\vert\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)\right\vert$ (wartość bezwzględna z iloczynu mieszanego krawędzi).

Twierdzenie (Objętość czworościanu poprzez iloczyn mieszany)
Objętość $V_{c}$ czworościanu rozpiętego przez wektory $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ , $\overrightarrow{w}$ wyraża się wzorem $V_{c}=\frac{1}{6}\cdot\left\vert\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)\right\vert$ .

Niech dane będą punkty $A,B,C,D$ (niekoniecznie o takich samych współrzędnych jak na rysunku - nie precyzujmy współrzędnych), przy czym $A,B,C$ niech będą niewspółliniowe. Wyznaczmy odległość $\textrm{dist}(D,\pi)$ punktu $D$ od płaszczyzny $\pi$ , zawierającej $A$ , $B$ , $C$ .

Zauważmy najpierw, że odległość $\textrm{dist}(D,\pi)$ jest wysokością w czworościanie o wierzchołkach $A,B,C,D$ opadającą z wierzchołka $D$ na podstawę będącą trójkątem o wierzchołkach $A,B,C$ . Z wierzchołka $A$ wychodzą następujące krawędzie czworościanu: $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ oraz $\overrightarrow{AD}$ , zaś trójkątna podstawa ma boki $\overrightarrow{AB}$ oraz $\overrightarrow{AC}$ wychodzące z wierzchołka $A$ .

Przekształcimy wzór $V=\frac{1}{3}P_{ABC}\cdot H$ .
Mamy $\textrm{dist}(D,\pi)$ $=H$ $=\frac{V}{\frac{1}{3}P_{ABC}}$ $=\frac{\frac{1}{6}\cdot\left\vert\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)\right\vert}{\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\left\Vert \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right\Vert}$ $=\frac{\left\vert\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)\right\vert}{\left\Vert \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right\Vert}$ .

Twierdzenie (Odległość punktu od płaszczyzny zawierającej trzy punkty)
Jeśli niewspółliniowe punkty $A,B,C$ leżą na płaszczyźnie $\pi$ , to zachodzi wzór $\textrm{dist}(D,\pi)=\frac{\left\vert\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)\right\vert}{\left\Vert \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right\Vert}$ .

Przykład
Dane są punkty $A=\left(1,-2,3\right)$ , $B=\left(1,-2,-1\right)$ , $C=\left(6,10,-1\right)$ , $D=\left(4,-2,3\right)$ . Wyznaczmy odległość $\textrm{dist}(D,\pi)$ punktu $D$ od płaszczyzny $\pi$ , zawierającej punkty $A$ , $B$ , $C$ .
Rozwiązanie:
Wyznaczmy najpierw wektory: $\overrightarrow{AB}=[0,0,-4]$ , $\overrightarrow{AC}=[5,12,-4]$ , $\overrightarrow{AD}=[3,0,0]$ .
Sprawdźmy, że punkty $A,B,C$ nie są współliniowe. Mamy $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$ $=\det\left[\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\ 0 & 0 & -4 \\ 5 & 12 & -4 \end{array}\right]$ $=\left[\color{BrickRed}+\color{black}\det\left[\begin{array}{cc} 0 & -4 \\ 12 & -4 \end{array}\right], \color{RoyalBlue}-\color{black}\det\left[\begin{array}{cc} 0 & -4 \\ 5 & -4 \end{array}\right], \color{BrickRed}+\color{black}\det\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 5 & 12 \end{array}\right]\right]$ $=\left[48,-20,0\right]$ $\neq \left[0,0,0\right]$ , zatem nie są współliniowe (zobacz: Warunek współliniowości punktów).

Policzmy zatem
$\textrm{dist}(D,\pi)$ $=\frac{\left\vert\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)\right\vert}{\left\Vert \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right\Vert}$ $=\frac{\left\vert\det\left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & -4 \\ 5 & 12 & -4 \\ 3 & 0 & 0 \end{array}\right]\right\vert}{\left\Vert\left[48,-20,0\right]\right\Vert}$ $=\frac{\left\vert 144\right\vert}{\sqrt{(48)^{2}+(-20)^{2}+(0)^{2}}}$ $=\frac{144}{\sqrt{2704}}$ .

Prosta w przestrzeni trójwymiarowej

W tej sekcji na różne sposoby wyrazimy prostą: w postaci parametrycznej, kierunkowej i krawędziowej.

Definicja (Wektor równoległy do prostej)
Niezerowy wektor $\overrightarrow{v}$ nazywamy równoległym do prostej $l$ , jeśli - biorąc dowolne punkty $A,B$ tej prostej - utworzony z nich wektor $\overrightarrow{AB}$ jest równoległy do wektora $\overrightarrow{v}$ . Zapisujemy wtedy, że $l\parallel\overrightarrow{v}$ .

Definicja (Wektor kierunkowy prostej)
Dowolny wektor równoległy do prostej nazywamy wektorem kierunkowym tej prostej.

Rysunek ilustruje pojęcie wektora kierunkowego. Jest on równoległy do dowolnego wektora $\overrightarrow{AB}$ , którego punkt początkowy i końcowy leżą na tej prostej.

Komentarz
Niech dana będzie prosta $l$ przechodząca przez punktu $P=\left( x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ i mająca wektor kierunkowy $\overrightarrow{v}=\left[v_{x},v_{y},v_{z}\right]$ . Przesuwając się z punktu $P$ o wektor $t\cdot \overrightarrow{v}$ "wylądujemy" w jakimś innym (dla $t\neq 0$ ) punkcie prostej (bo wektor $\overrightarrow{v}$ jest równoległy do prostej $l$ , zaś iloczyn wektora przez liczbę $t\cdot\overrightarrow{v}$ jest tylko zmianą jego długości lub zwrotu) - wylądujemy w punkcie $P+t\cdot \overrightarrow{v}$ . Zmieniając $t\in\mathbb{R}$ będziemy w stanie zmienić miejsce "lądowania". To pozwala opisać wszystkie możliwe punkty prostej następująco: $l=\left\{P+t\cdot \overrightarrow{v}\right\}_{t\in\mathbb{R}}$ . Rozpisując bardziej szczegółowo
$l=\left\{\left( x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)+t\cdot \left[v_{x},v_{y},v_{z}\right]\right\}_{t\in\mathbb{R}}$ $=\left\{\left( x_{0}+t\cdot v_{x}, y_{0}+t\cdot v_{y}, z_{0}+t\cdot v_{z}\right)\right\}_{t\in\mathbb{R}}$ $=\left\{ \begin{array}{rl} x=&x_{0}+tv_{x}\\y=&y_{0}+tv_{y},\,\, t\in\mathbb{R}\\z=&z_{0}+tv_{z}\end{array}\right.$ . Liczbę $t\in\mathbb{R}$ nazywamy parametrem.

Definicja (Równanie parametryczne prostej - "punkt i wektor kierunkowy")
Równanie $l= \hspace{2em} \left\{ \begin{array}{rl} x=&x_{0}+tv_{x}\\y=&y_{0}+tv_{y},\,\, t\in\mathbb{R}\\z=&z_{0}+tv_{z}\end{array}\right.$ , opisuje prostą $l$ przechodzącą przez punkt zaczepienia $P=\left( x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ i mającą wektor kierunkowy $\overrightarrow{v}=\left[v_{x},v_{y},v_{z}\right]$ .
Jest to równanie parametryczne prostej $l$ .

Gdyby w powyższej postaci parametrycznej, z niewiadomych $x,y,z$ wyliczyć $t$ i zestawić obok siebie, otrzymamy poniższą postać równania kierunkowego prostej.

Definicja (Równanie kierunkowe prostej - "punkt i wektor kierunkowy")
Równanie $l: \hspace{2em}\frac{x-x_{0}}{v_{x}}=\frac{y-y_{0}}{v_{y}}=\frac{z-z_{0}}{v_{z}}$ opisuje prostą $l$ przechodzącą przez punkt zaczepienia $P=\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)$ i mającą wektor kierunkowy $\overrightarrow{v}=\left[v_{x},v_{y},v_{z}\right]$ .
Jest to równanie kierunkowe prostej $l$ .

Definicja (Równanie krawędziowe prostej - "przecięcie dwóch płaszczyzn")
Układ równań $l:\hspace{2em}\left\{\begin{array}{c}A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0\\A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0\end{array}\right.$ opisuje prostą $l$ jako część wspólną dwóch (założenie: nierównoległych) płaszczyzn.
Jest to równanie krawędziowe prostej $l$ .

Komentarz (Warunek równoległości płaszczyzn)
Pokażemy sposób na sprawdzenie, czy płaszczyzny $\pi_{1}:\,A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0$ oraz $\pi_{2}:\,A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0$ są równoległe.

Po pierwsze odnotujmy, że $\overrightarrow{n_{1}}=\left[A_{1},B_{1},C_{1}\right]\perp\pi_{1}$ oraz $\overrightarrow{n_{2}}=\left[A_{2},B_{2},C_{2}\right]\perp\pi_{2}$ , czyli wektory utworzone ze współczynników równania płaszczyzny są prostopadłe do tych płaszczyzn (nazywane wektorami normalnymi płaszczyzn).

Po drugie odnotujmy, że płaszczyzny są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich wektory prostopadłe są wzajemnie równoległe.

Używając warunku równoległości wektorów otrzymujemy wniosek: Płaszczyzny $\pi_{1}:\,A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0$ oraz $\pi_{2}:\,A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy $\left[A_{1},B_{1},C_{1}\right] \times \left[A_{2},B_{2},C_{2}\right]=\left[0,0,0\right]$ .

Komentarz (Wyznaczenie wektora kierunkowego prostej z jej postaci krawędziowej)
Pozostańmy jeszcze przez chwilę przy wektorach $\overrightarrow{n_{1}}=\left[A_{1},B_{1},C_{1}\right]$ oraz $\overrightarrow{n_{2}}=\left[A_{2},B_{2},C_{2}\right]$ normalnych płaszczyzn $\pi_{1}$ i $\pi_{2}$ . Odnotujmy, że prosta $l=\pi_{1}\cap\pi_{2}$ $=\left\{\begin{array}{c}A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0\\A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0\end{array}\right.$ musi być do obydwu wektorów $\overrightarrow{n_{1}}$ i $\overrightarrow{n_{2}}$ prostopadła, zatem jej wektor kierunkowy $\overrightarrow{v}$ również. Ale taką własność ma też iloczyn wektorowy wektorów. Mamy zatem przepis na utworzenie wektora kierunkowego prostej: $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{n_{1}}\times\overrightarrow{n_{2}}$ .

a) Ilustracja prostej przedstawionej w postaci parametrycznej lub kierunkowej

b) Ilustracja prostej przedstawionej w postaci krawędziowej jako część wspólna dwóch nierównoległych płaszczyzn

Przykład
Dane są dwie płaszczyzny: $\begin{aligned}\pi_{1} & : \hspace{2em} 2x-y+3\left( z-1\right) =0\\\pi_{2} & :\hspace{2em} x-2\left( y-1\right) +z-1=0.\end{aligned}$ . Wyznaczmy ich postać krawędziową, parametryczną i kierunkową.

a) Postać krawędziowa:
Oczywiście szukana postać to $l:\hspace{2em}\left\{\begin{array}{r}2x-y+3z-3=0\\x-2y+z+1=0\end{array}\right.$ .

b) Postać parametryczna:
Wektory normalne płaszczyzn to $\overrightarrow{n_{1}}=\left[2,-1,3\right]$ oraz $\overrightarrow{n_{2}}=\left[1,-2,1\right]$ .
Wektor kierunkowy prostej to $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{n_{1}}\times\overrightarrow{n_{2}}$ $=\left\vert\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\2 & -1 & 3\\1 & -2 & 1\end{array}\right\vert$ $=\left[5,1,-3\right]$ .
Potrzebujemy jeszcze jakiegokolwiek punktu zaczepienia $P$ . Zasadniczo można albo rozwiązać układ równań z postaci krawędziowej i coś "wybrać" albo zgadnąć. Użyjemy $P=\left(-1,1,2\right)$ .
Równanie parametryczne prostej $l$ ma więc postać $\left\{ \begin{array}{rl} x=&x_{0}+tv_{x}\\y=&y_{0}+tv_{y},\,\, t\in\mathbb{R}\\z=&z_{0}+tv_{z}\end{array}\right.$ $=\left\{\begin{array}{l}x=-1+5t\\y=1+t\\z=2-3t\end{array}\right.$ , gdzie $t\in\mathbb{R}$ .

c) Postać kierunkowa:
Z każdego z trzech powyższych równań wyliczamy $t$ i otrzymujemy następującą postać kierunkową $t=\frac{x+1}{5}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{-3}$ .

Płaszczyzna w przestrzeni trójwymiarowej

Definicja
Niezerowy wektor $\overrightarrow{n}$ nazywamy prostopadłym do płaszczyzny $\pi$ , jeżeli dla dowolnych dwóch jej punktów $A,B$ wektory $\overrightarrow{AB}$ oraz $\overrightarrow{n}$ są prostopadłe. Każdy taki wektor nazywamy wektorem normalnym tej płaszczyzny i zapisujemy $\overrightarrow{n}\perp\pi$ .

Rysunek ilustruje pojęcie prostopadłości wektora do płaszczyzny. Jeśli każdy wektor $\overrightarrow{AB}$ "leżący na tej płaszczyźnie" jest prostopadły do $\overrightarrow{n}$ , to wektor $\overrightarrow{n}$ nazywamy wektorem prostopadłym do płaszczyzny lub wektorem normalnym płaszczyzny.

Definicja (Równanie normalne płaszczyzny - "punkt i wektor normalny")
Równanie płaszczyzny $\pi$ , przechodzącej przez punkt $P=\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)$ oraz prostopadłej do niezerowego wektora $\overrightarrow{n}=\left[A,B,C\right]$ , ma postać $\pi: \hspace{2em} A\left( x-x_{0}\right) +B\left( y-y_{0}\right) +C\left(z-z_{0}\right) =0$ .
Jest to równanie normalne płaszczyzny.

Rysunek ilustruje fragment płaszczyzny przedstawionej w postaci normalnej $A\left( x-x_{0}\right) +B\left( y-y_{0}\right) +C\left(z-z_{0}\right) =0$ . Jest ona prostopadła do wektora $\overrightarrow{n}=\left[A,B,C\right]$ i przechodzi przez punkt $P=\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)$ .

Definicja (Równanie ogólne płaszczyzny - "wektor normalny")
Równanie płaszczyzny $\pi$ prostopadłej do niezerowego wektora $\overrightarrow{n}=\left[A,B,C\right]$ , ma postać $\pi: \hspace{2em} Ax+By+Cz+D=0$ (wartość $D$ zależy od punktu, przez jaki przechodzi płaszczyzna).
Jest to równanie ogólne płaszczyzny.

Rysunek ilustruje fragment płaszczyzny przedstawionej w postaci ogólnej $Ax+By+Cz+D=0$ . Jest ona prostopadła do wektora $\overrightarrow{n}=\left[A,B,C\right]$ .

Uwaga
Każde trzy niewspółliniowe punkty $\color{BrickRed}P_{1}$ , $\color{RoyalBlue}P_{2}$ , $\color{OliveGreen}P_{3}$ , wyznaczają dokładnie jedną płaszczyznę $\pi$ , która je zawiera.

Definicja (Równanie wyznacznikowe płaszczyzny - "trzy punkty")
Równanie płaszczyzny $\pi$ , zawierającej niewspółliniowe punkty $\color{BrickRed}P_{1}=\left( x_{1},y_{1},z_{1}\right)$ , $\color{RoyalBlue}P_{2}=\left( x_{2},y_{2},z_{2}\right)$ , $\color{OliveGreen}P_{3}=\left( x_{3},y_{3},z_{3}\right)$ , ma postać $\pi:\hspace{2em}\det\left[\begin{array}{ccc} x-\color{BrickRed}x_{1}\color{black} & y-\color{BrickRed}y_{1}\color{black} & z-\color{BrickRed}z_{1}\color{black} \\ \color{RoyalBlue}x_{2}\color{black}-\color{BrickRed}x_{1}\color{black} & \color{RoyalBlue}y_{2}\color{black}-\color{BrickRed}y_{1}\color{black} & \color{RoyalBlue}z_{2}\color{black}-\color{BrickRed}z_{1}\color{black} \\ \color{OliveGreen}x_{3}\color{black}-\color{BrickRed}x_{1}\color{black} & \color{OliveGreen}y_{3}\color{black}-\color{BrickRed}y_{1}\color{black} & \color{OliveGreen}z_{3}\color{black}-\color{BrickRed}z_{1}\color{black}\end{array}\right]=0$ .
Jest to równanie wyznacznikowe płaszczyzny.

Rysunek ilustruje fragment płaszczyzny przedstawionej w postaci wyznacznikowej $\det\left[\begin{array}{ccc} x-\color{BrickRed}x_{1}\color{black} & y-\color{BrickRed}y_{1}\color{black} & z-\color{BrickRed}z_{1}\color{black} \\ \color{RoyalBlue}x_{2}\color{black}-\color{BrickRed}x_{1}\color{black} & \color{RoyalBlue}y_{2}\color{black}-\color{BrickRed}y_{1}\color{black} & \color{RoyalBlue}z_{2}\color{black}-\color{BrickRed}z_{1}\color{black} \\ \color{OliveGreen}x_{3}\color{black}-\color{BrickRed}x_{1}\color{black} & \color{OliveGreen}y_{3}\color{black}-\color{BrickRed}y_{1}\color{black} & \color{OliveGreen}z_{3}\color{black}-\color{BrickRed}z_{1}\color{black}\end{array}\right]=0$ , zawierającej niewspółliniowe punkty $\color{BrickRed}P_{1}=\left( x_{1},y_{1},z_{1}\right)$ , $\color{RoyalBlue}P_{2}=\left( x_{2},y_{2},z_{2}\right)$ , $\color{OliveGreen}P_{3}=\left( x_{3},y_{3},z_{3}\right)$ .

Definicja (Równanie odcinkowe płaszczyzny - "trzy punkty na osiach")
Równanie płaszczyzny $\pi$ , przecinającej osie układu współrzędnych w punktach $P_{x}\left(a,0,0\right)$ , $P_{y}\left(0,b,0\right)$ , $P_{z}\left(0,0,c\right)$ , ma postać $\pi:\hspace{2em}\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ , gdzie $a,b,c\neq 0$ są liczbami różnymi od zera.
Jest to równanie odcinkowe płaszczyzny.

Rysunek ilustruje fragment płaszczyzny przedstawionej w postaci odcinkowej $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ . Przecina ona osie w punktach $\left(a,0,0\right),\left(0,b,0\right),\left(0,0,c\right)$ (aby to sprawdzić, wystarczy do równania płaszczyzny wstawić współrzędne punktów $\left(a,0,0\right),\left(0,b,0\right),\left(0,0,c\right)$ ).

Komentarz
Mrówka znajdująca się w punkcie $P$ blatu stołu może dojść w dowolne inne miejsce blatu, idąc na przykład 30cm wzdłuż blatu (powiedzmy, że w kierunku wektora $\overrightarrow{u}$ ), a następnie 20 cm w poprzek blatu (powiedzmy, że w kierunku wektora $\overrightarrow{v}$ ).

Podobnie na dowolnej płaszczyźnie można ustalić jakieś dwa nierównoległe wektory $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$ , a następnie startując w dowolnym punkcie $P$ płaszczyzny $\pi$ i odpowiednio przesuwając się najpierw wzdłuż wektora $\overrightarrow{u}$ , a następnie wzdłuż wektora $\overrightarrow{v}$ , można dotrzeć w dowolny inny punkt płaszczyzny. Inaczej mówiąc odpowiednio "kombinując" z liczbami $s,t\in\mathbb{R}$ można dotrzeć w każdy punkt $P+s\cdot\overrightarrow{u}+t\cdot\overrightarrow{v}$ płaszczyzny.

Zatem płaszczyznę $\pi$ można opisać jako $\pi=\left\{P+s\cdot\overrightarrow{u}+t\cdot\overrightarrow{v}\right\}_{s,t\in\mathbb{R}}$ (zbiór wszystkich możliwych punktów utworzonych jako przesunięcie z punktu $P$ o $s$ wektora $\overrightarrow{u}$ , a następnie o $t$ wektora $\overrightarrow{v}$ ).

Rozpisując dokładniej dla
$P=\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)$ ,
$\overrightarrow{u}=\left[ u_{x},u_{y},u_{z}\right]$ ,
$\overrightarrow{v}=\left[v_{x},v_{y},v_{z}\right]$
otrzymujemy

$\pi=\left\{P+s\cdot\overrightarrow{u}+t\cdot\overrightarrow{v}\right\}_{s,t\in\mathbb{R}}$ $=\left\{\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)+s\cdot\left[ u_{x},u_{y},u_{z}\right]+t\cdot\left[v_{x},v_{y},v_{z}\right]\right\}_{s,t\in\mathbb{R}}$ $=\left\{\left(x_{0}+su_{x}+tv_{x},y_{0}+su_{y}+tv_{y},z_{0}+su_{z}+tv_{z}\right)\right\}_{s,t\in\mathbb{R}}$ $=\left\{\begin{array}{rcl}x&=&x_{0}+su_{x}+tv_{x}\\y&=&y_{0}+su_{y}+tv_{y},\,\,s,t\in\mathbb{R}\\z&=&z_{0}+su_{z}+tv_{z}\end{array}\right.$

Definicja (Równanie parametryczne płaszczyzny - "punkt i dwa wektory kierunkowe")
Równanie płaszczyzny $\pi$ , przechodzącej przez punkt $P=\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)$ i równoległej do dwóch niezerowych, nierównoległych wektorów $\overrightarrow{u}=\left[u_{x},u_{y},u_{z}\right]$ oraz $\overrightarrow{v}=\left[v_{x},v_{y},v_{z}\right]$ ma postać
$\left\{\begin{array}{rcl}x&=&x_{0}+su_{x}+tv_{x}\\y&=&y_{0}+su_{y}+tv_{y},\,\,s,t\in\mathbb{R}\\z&=&z_{0}+su_{z}+tv_{z}\end{array}\right.$ .
Jest to równanie parametryczne płaszczyzny. Punkt $P$ nazywamy punktem zaczepienia płaszczyzny, zaś $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$ jej wektorami kierunkowymi.

Przykład
Niech dane będą trzy punkty $\color{BrickRed}P_1=(1,-1,2)$ , $\color{RoyalBlue}P_2=(-1,2,1)$ oraz $\color{OliveGreen}P_3=(1,0,3)$ . Sprawdźmy, że wyznaczają one dokładnie jedną płaszczyznę, a następnie wyznaczmy jej równanie wyznacznikowe, ogólne, normalne, odcinkowe i parametryczne.

a) Trzy punkty jednoznacznie określają płaszczyznę, jeśli są niewspółliniowe. Oceńmy, czy punkty $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ są niewspółliniowe. Wystarczy sprawdzić, czy wektory $\overrightarrow{P_1P_2}$ oraz $\overrightarrow{P_1P_3}$ nie są równoległe.
Mamy $\overrightarrow{P_1P_2}=[-2,3,-1]$ oraz $\overrightarrow{P_1P_3}=[0,1,1]$ , a z tego $\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3}=[4,2,-2]\neq\overrightarrow{0}$ , zatem punkty $P_1,P_2,P_3$ wyznaczają dokładnie jedną płaszczyznę $\pi$ .

b) Jej postać wyznacznikowa to $\det\left[\begin{array}{ccc}x-\color{BrickRed}1\color{black} & y-(\color{BrickRed}-1\color{black}) & z-\color{BrickRed}2\color{black}\\ \color{RoyalBlue}-1\color{black}-\color{BrickRed}1\color{black} & \color{RoyalBlue}2\color{black}-(\color{BrickRed}-1\color{black}) & \color{RoyalBlue}1\color{black}-\color{BrickRed}2\color{black}\\\color{OliveGreen}1\color{black}-\color{BrickRed}1\color{black} & \color{OliveGreen}0\color{black}-(\color{BrickRed}-1\color{black}) & \color{OliveGreen}3\color{black}-\color{BrickRed}2\color{black}\end{array}\right]=0$ .

c) Licząc powyższy wyznacznik i przyrównując do zera otrzymujemy równanie ogólne $4x+2y-2z+2=0$ .

d) Z powyższego widzimy, że współczynniki wynoszą $[A,B,C]=[4,2,-2]$ (wiedzieliśmy to już wcześniej - w podpunkcie a) otrzymaliśmy właśnie ten wektor) oraz możemy wziąć punkt zaczepienia $P=(1,-1,2)$ , co daje postać normalną $4(x-1)+2(y+1)-2(z-2)=0$ .

e) Z postaci ogólnej $4x+2y-2z+2=0$ , przenosząc $2$ na prawą stronę i dzieląc obydwie strony przez $-2$ (aby po prawej mieć jedynkę) otrzymujemy postać odcinkową $\frac{x}{-1/2} + \frac{y}{-1}+\frac{z}{1}=1$ .

f) Aby wyznaczyć postać parametryczną potrzebujemy dwa wektory kierunkowe i punkt zaczepienia. Weźmiemy na przykład $P=(1,-1,2)$ , $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{P_1P_2}=[-2,3,-1]$ oraz $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{P_1P_3}=[0,1,1]$ . Postać parametryczna to $\left\{\begin{array}{l} x=1-2s\\ y=-1+3s+t,\,\,s,t\in\mathbb{R}\\ z=2-s+t\end{array}\right.$ .

dostęp do własnych plusów, ocen, obecności i materiałów dydaktycznych po zalogowaniu

7 ms - 33066 wyświetleń